Question

如圖△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=5cm；△DEF中，∠D=90º,∠E=45º,DE=3cm.現(xiàn)將△DEF的直角邊DF與△ABC的斜邊AB重合在一起，并將△DEF沿AB方向移動(dòng)（如圖）.在移動(dòng)過程中，D、F兩點(diǎn)始終在AB邊上（移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，一直移動(dòng)至點(diǎn)F與點(diǎn)B重合為止）.

（1）在△DEF沿AB方向移動(dòng)的過程中，有人發(fā)現(xiàn)：E、B兩點(diǎn)間的距離隨AD的變化而變化，現(xiàn)設(shè)AD="x,BE=y," 請(qǐng)你寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式及其定義域.
（2）請(qǐng)你進(jìn)一步研究如下問題：
問題①：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，E、B的連線與AC平行？
問題②：在△DEF的移動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得？如果存在，求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
問題③：當(dāng)△DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、EB、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？

Answer 1

（1）(其中0x7)
①，②，
③當(dāng)AD為斜邊時(shí),AD=BE+BC，=+25解得x=6.7
當(dāng)BE為斜邊時(shí),BE=AD+BC，=+25解得x=4.2
當(dāng)BC為斜邊時(shí),BC=BE+AD，25=+無實(shí)數(shù)解

試題分析：
（1）根據(jù)題意，觀察圖形，由勾股定理即可求出；
（2）①因?yàn)椤螧=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AC=10cm，又因?yàn)椤螰DE=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，連接BE，設(shè)BE∥AC，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長(zhǎng)可求；
②假設(shè)∠EBD=22.5°，因?yàn)椤螮DF=45°，所以EF=BF，求得AD=,故不存在．
③設(shè)AD=x，則BE=，再分情況討論：FC為斜邊；AD為斜邊；BC為斜邊．綜合分析即可求得AD的長(zhǎng)；
試題解析：
∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，
∴AB=10
,
(其中0x7)
（2）①當(dāng)BE∥AC時(shí)，則∠EBD=∠A=30°
∴，
，∴
②當(dāng)∠EBD=22.5°，∵∠EFD=45°，∴EF=BF，
，∴
③BE=，BC="5"
當(dāng)AD為斜邊時(shí),AD=BE+BC，=+25解得x=6.7
當(dāng)BE為斜邊時(shí),BE=AD+BC，=+25解得x=4.2
當(dāng)BC為斜邊時(shí),BC=BE+AD，25=+無實(shí)數(shù)解