Question

如圖，過(guò)等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=CQ，連PQ交AC邊于D．
（1）求證：PD=DQ；
（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為1，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：
如圖，

過(guò)P做PF∥BC交AC于點(diǎn)F，
∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AFP=60°，
∴△APF是等邊三角形；
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ
∴△PFD≌△QCD，
∴PD=DQ．

（2）△APF是等邊三角形，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
△PFD≌△QCD，
∴CD=DF，
DE=EF+DF=

1

2

AC，
∵AC=1，
DE=

1

2

．