Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（-4，0），點B在第二象限，點P是y軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
（1）連接DP，猜想△APD的形狀，并加以說明；
（2）當點P運動到點(0，

3

)時，求此時DP的長；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于

3

4

？若存在，請求出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉的性質可得，AD=AP，旋轉角∠OAB=∠PAD=60°，即可得出；
（2）由AP=PD，所以，根據(jù)勾股定理求出AP的長，即可得出；
（3）本題分三種情況進行討論，設點P的坐標為（0，t）：①當P在y軸正半軸上時，即t＞0時，在直角三角形DBG中，可根據(jù)BD即OP的長和∠DBG的正弦函數(shù)求出DG的表達式，即可求出DH的長，根據(jù)已知的△OPD的面積可列出一個關于t的方程，即可求出t的值．②當P在y軸負半軸，但D在x軸上方時．即-

4 3

3

＜t≤0時，方法同①類似，也是在直角△DBG用BD的長表示出DG，進而求出HD的長；③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤-

4 3

3

時，方法同②．

解答：解：（1）等邊三角形，
理由是：∵把△AOP繞點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
∴AP=AD，∠OAP=∠DAB，
∵等邊三角形AOB，
∴∠BAO=60°=∠OAP+∠PAB，
∴∠DAP=60°，
即△APD的形狀是等邊三角形．

（2）∵等邊△APD，
∴DP=AP=

OA2+OP2

=

42+( 3 )2

=

19

；

（3）設P（0，t），假設存在P點，使△OPD的面積等于

3

4

．下面分三種情況討論：
①當t＞0時，如圖，BD=OP=t，DG=

3

2

t，
∴DH=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

t（2+

3

2

t）=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

，t2=

- 21 -2 3

3

（舍去），
∴點P₁的坐標為（0，

21 -2 3

3

）．
②當-

4 3

3

＜t≤0時，如圖，BD=OP=-t，BG=-

3

2

t，
∴DH=2-（-

3

2

t）=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴-

1

2

t（2+

3

2

t）=

3

4

，
解得 t₁=-

3

3

，t₂=-

3

，
∴點P₂的坐標為（0，-

3

3

），點P₃的坐標為（0，-

3

）．
③當t≤-

4 3

3

時，如圖，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，
∴DH=-

3

2

t-2．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

t（2+

3

2

t）=

3

4

，
解得 t₁=

21 -2 3

3

（舍去），t₂=

- 21 -2 3

3

，
∴點P₄的坐標為（0，

- 21 -2 3

3

），
綜上所述，點P的坐標分別為P₁（0，

21 -2 3

3

）、P₂（0，-

3

3

）、P₃（0，-

3

）、P₄（0，

- 21 -2 3

3

）．

點評：本題主要考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質和二次函數(shù)的性質，關于動點問題，注意分類討論解答．