Question

【題目】⊙O的半徑為5，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)D在直線AB上.

（1）如圖（1），已知∠BCD=∠BAC，求證：CD是⊙O的切線；

（2）如圖（2），CD與⊙O交于另一點(diǎn)E，BD：DE：EC=2；3：5求圓心O到直線CD的距離；

（3）若圖（2）中的點(diǎn)D是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)在C，D，E三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)是另兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)的情況，問(wèn)這樣的情況出現(xiàn)幾次？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）三次.

【解析】

試題（1）連接OC，證明OC⊥CD即可.

（2）連接OC、OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，證明△BCD∽△EAD，得比例式，即，根據(jù)BD：DE：EC=2：3：5，可設(shè)BD=2k，DE=3k，EC=5k，代入求出k即可得BD=2，DE=3，EC=5，從而根據(jù)勾股定理即可求得OF.

（3）分點(diǎn)D在⊙O外，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)和點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，點(diǎn)D是CE中點(diǎn)兩種情況討論即可.

試題解析：解：（1）證明：如答圖1，連接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.

又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.

又∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD =∠OCA.

∴∠OCD=∠BCD +∠OCB=90°，即OC⊥CD.

∴CD是⊙O的切線.

（2）如答圖2，∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，∴△BCD∽△EAD.

∴，即.

又∵BD：DE：EC=2：3：5，∴可設(shè)BD=2k，DE=3k，EC=5k.

又∵⊙O的半徑為5，∴，解得k=1.

∴BD=2，DE=3，EC=5.

連接OC、OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，

則△OEC是等邊三角形， EF=CE=.

∴根據(jù)勾股定理得

OF=.

∴圓心O到直線CD的距離是.

（3）這樣的情形共有出現(xiàn)三次：當(dāng)點(diǎn)D在⊙O外時(shí)，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，有如答圖3，4的兩種情形；當(dāng)點(diǎn)D在⊙O內(nèi)時(shí)，點(diǎn)D是CE中點(diǎn)，有如答圖5的一種情形.