Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞0，b＞0）的離心率為 ，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C上的一點(diǎn)，過P的直線與以橢圓的短軸為直徑的圓切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)M，證明：|PF|+|PM|為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：橢圓的離心率e= = ，則a= c，

由△AOF的面積為S= ×b×c= ，則bc=1，

由a2=b2﹣c2，解得：a= ，b=c=1，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；

（2）

證明：由（1）可知：F（1，0），以橢圓的短軸為直徑的圓的方程為x2+y2=1，

設(shè)P（ cosθ，sinθ），且cosθ＞0，則|PF|= = = ﹣cosθ，

由M是圓x2+y2=1的切點(diǎn)，則OM⊥PM，且丨OM丨=1，

則丨PM丨= = = =cosθ，

∴|PF|+|PM|= ﹣cosθ+cosθ= ，

∴|PF|+|PM|為定值．

【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率求得a= c，bc=1，及a2=b2﹣c2 ， 即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，及勾股定理即可求得：|PF|+|PM|的值為定值．