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        1. 【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點E.在△ABC外有一點F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.

          (1)求證:BE=CF;

          (2)在AB上取一點M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點N,連接ME.

          求證:①ME⊥BC;②CM平分∠ACE.

          【答案】見解析

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°,再求出∠ACF=45°,從而得到∠B=∠ACF,根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF,然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可;

          (2)①過點E作EH⊥AB于H,求出△BEH是等腰直角三角形,然后求出HE=BH,再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE,然后求出HE=HM,從而得到△HEM是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可;

          ②求出∠CAE=∠CEA=67.5°,根據(jù)等角對等邊可得AC=CE,再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到結(jié)論.

          證明:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,

          ∴∠B=∠ACB=45°,

          ∵FC⊥BC,

          ∴∠BCF=90°,

          ∴∠ACF=90°﹣45°=45°,

          ∴∠B=∠ACF,

          ∵∠BAC=90°,F(xiàn)A⊥AE,

          ∴∠BAE+∠CAE=90°,

          ∠CAF+∠CAE=90°,

          ∴∠BAE=∠CAF,

          在△ABE和△ACF中,

          ,

          ∴△ABE≌△ACF(ASA),

          ∴BE=CF;

          (2)①如圖,過點E作EH⊥AB于H,則△BEH是等腰直角三角形,

          ∴HE=BH,∠BEH=45°,

          ∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,

          ∴DE=HE,

          ∴DE=BH=HE,

          ∵BM=2DE,

          ∴HE=HM,

          ∴△HEM是等腰直角三角形,

          ∴∠MEH=45°,

          ∴∠BEM=45°+45°=90°,

          ∴ME⊥BC;

          ②由題意得,∠CAE=45°+×45°=67.5°,

          ∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,

          ∴∠CAE=∠CEA=67.5°,

          ∴AC=CE,

          在Rt△ACM和Rt△ECM中

          ,

          ∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL),

          ∴∠ACM=∠ECM,

          ∴CM平分∠ACE.

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