Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn)．

（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x，BM2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化．當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，

∴∠QAB=∠PAD，

又∵∠ABQ=∠ADP=90°，

∴△ADP∽△ABQ

（2）

解：∵△ADP∽△ABQ，

∴ ，即 ，解得QB=2x．

∵DP=x，CD=AB=20，

∴PC=CD﹣DP=20﹣x．

如解答圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，

∵M(jìn)N⊥QC，CD⊥QC，點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，

∴點(diǎn)N為QC中點(diǎn)，MN為中位線，

∴MN= PC= （20﹣x）=10﹣ x，

BN= QC﹣BC= （BC+QB）﹣BC= （10+2x）﹣10=x﹣5．

在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10﹣ x）2+（x﹣5）2= x2﹣20x+125，

∴y= x2﹣20x+125（0＜x＜20）．

∵y= x2﹣20x+125= （x﹣8）2+45，

∴當(dāng)x=8即DP=8時(shí)，y取得最小值為45，BM的最小值為 =

（3）

解：設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)E．

如解答圖所示，點(diǎn)M落在矩形ABCD外部，須滿足的條件是BE＞MN．

∵△ADP∽△ABQ，

∴ ，即 ，解得QB= a．

∵AB∥CD，

∴△QBE∽△QCP，

∴ ，即 ，解得BE= ．

∵M(jìn)N為中位線，

∴MN= PC= （a﹣8）．

∵BE＞MN，

∴ ＞ （a﹣8），解得a＞12.5．

∴當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，a的取值范圍為：a＞12.5．

【解析】（1）由對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似；（2）如解答圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥QC于點(diǎn)N，由此構(gòu)造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，這是一個(gè)二次函數(shù)，求出其最小值；（3）如解答圖所示，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，須滿足的條件是“BE＞MN”．分別求出BE與MN的表達(dá)式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等；相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．