Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣+bx+c過點A（3，0），B（0，2）．M（m，0）為線段OA上一個動點（點M與點A不重合），過點M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N．

（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；

（2）如果點P是MN的中點，那么求此時點N的坐標；

（3）如果以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=﹣x+2，拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；（2）N點坐標為（， ）；（3）點M的坐標為（，0）或（，0）．

【解析】試題分析：（1）運用待定系數法求解即可；

（2設N（m，﹣ m2+m+2），P（m，﹣m+2），那么NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，根據NP=PM列方程求解即可；

（3）分△BPN∽△OBA和△BPN∽△ABO兩種情況，列方程求解.

解：（1）設直線AB的解析式為y=px+q，

把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+2；

把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）∵M（m，0），MN⊥x軸，

∴N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），

∴NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，

而NP=PM，

∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得m1=3（舍去），m2=，

∴N點坐標為（，）；

（3）∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），

∴AB==，BP==m，

而NP=﹣m2+4m，

∵MN∥OB，

∴∠BPN=∠ABO，

當=時，△BPN∽△OBA，則△BPN∽△MPA，即m：2=（﹣m2+4m）：，

整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，

此時M點的坐標為（，0）；

當=時，△BPN∽△ABO，則△BPN∽△APM，即m： =（﹣m2+4m）：2，

整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=，

此時M點的坐標為（，0）；

綜上所述，點M的坐標為（，0）或（，0）．