【題目】已知正方形中
與
交于
點(diǎn),點(diǎn)
在線段
上,作直線
交直線
于
,過(guò)
作
于
,設(shè)直線
交
于
.
(1)如圖,當(dāng)在線段
上時(shí),求證:
;
(2)如圖2,當(dāng)在線段
上,連接
,當(dāng)
時(shí),求證:
;
(3)在圖3,當(dāng)在線段
上,連接
,當(dāng)
時(shí),求證:
.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)先判斷出OD=OA,∠AOM=∠DON,再利用同角的余角相等判斷出∠ODN=∠OAM,判斷出△DON≌△AOM即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出四邊形DENM是菱形,進(jìn)而判斷出∠BDN=22.5°,即可判斷出∠AMB=67.5°,即可得出結(jié)論;
(3)設(shè)CE=a,進(jìn)而表示出EN=CE=a,CN=a,設(shè)DE=b,進(jìn)而表示AD=a+b,根據(jù)勾股定理得,AC=
(a+b),同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN,得出∠EDN=∠DAE,進(jìn)而判斷出△DEN∽△ADE,得出
,進(jìn)而得出a=
b,即可表示出CN=
b,AC=
b,AN=AC﹣CN=
b,即可得出結(jié)論.
(1)∵正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于O,
∴OD=OA,∠AOM=∠DON=90°,
∴∠OND+∠ODN=90°,
∵∠ANH=∠OND,
∴∠ANH+∠ODN=90°,
∵DH⊥AE,
∴∠DHM=90°,
∴∠ANH+∠OAM=90°,
∴∠ODN=∠OAM,
∴△DON≌△AOM,
∴OM=ON;
(2)連接MN,
∵EN∥BD,
∴∠ENC=∠DOC=90°,∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD,
∴EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON,
∵OD=OD,
∴DM=CN=EN,
∵EN∥DM,
∴四邊形DENM是平行四邊形,
∵DN⊥AE,
∴DENM是菱形,
∴DE=EN,
∴∠EDN=∠END,
∵EN∥BD,
∴∠END=∠BDN,
∴∠EDN=∠BDN,
∵∠BDC=45°,
∴∠BDN=22.5°,
∵∠AHD=90°,
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°,
∵∠ABM=45°,
∴∠BAM=67.5°=∠AMB,
∴BM=AB;
(3)設(shè)CE=a(a>0)
∵EN⊥CD,
∴∠CEN=90°,
∵∠ACD=45°,
∴∠CNE=45°=∠ACD,
∴EN=CE=a,
∴CN=a,
設(shè)DE=b(b>0),
∴AD=CD=DE+CE=a+b,
根據(jù)勾股定理得,AC=AD=
(a+b),
同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN,
∵∠OAD=∠ODC=45°,
∴∠EDN=∠DAE,∵∠DEN=∠ADE=90°,
∴△DEN∽△ADE,
∴,
∴,
∴a=b(已舍去不符合題意的)
∴CN=a=
b,AC=
(a+b)=
b,
∴AN=AC﹣CN=b,
∴AN2=2b2,ACCN=b
b=2b2
∴AN2=ACCN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖已知:E是∠AOB的平分線上一點(diǎn),EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C、D.求證:
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OE是CD的垂直平分線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知在△ABC中,AB=AC,D為BC邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:DE=DF;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如下圖,先填空后證明.
已知: ∠1+∠2=180° 求證:a∥b.
證明:∵ ∠1=∠3(_____),∠1+∠2=180°(_____),
∴ ∠3+∠2=180°(______).
∴ a∥b(_____).
請(qǐng)你再寫(xiě)出一種證明方法.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°.
(1)請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,在(1)的結(jié)論下,當(dāng)∠E=90°保持不變,移動(dòng)直角頂點(diǎn)E,使∠MCE=∠ECD,當(dāng)直角頂點(diǎn)E點(diǎn)移動(dòng)時(shí),問(wèn)∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,D是線段BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),以線段CD為邊向CD的左側(cè)作等邊△CDE,連接AE.
(1)△ABC的面積S△ABC= ;
(2)求證:△ACE≌△BCD;
(3)若四邊形ABCE的面積為10,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=AN,BC=BM,則∠MCN=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 55°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABC 的頂點(diǎn) A (-2,0),點(diǎn) B,C分別在x軸和y軸的正半軸上,∠ACB=90°,∠BAC=60°
(1)求點(diǎn) B 的坐標(biāo);
(2)點(diǎn) P 為 AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò) P 作PQ∥x軸交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q ,若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為t,線段PQ的長(zhǎng)為d,請(qǐng)用含t的式子表示d;
(3) 在(2)的條件下,當(dāng)PA=d時(shí),E是線段CQ上一點(diǎn),連接OE,BP,若OE=BP,求∠APB-∠OEB的度數(shù)..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,定義:在直角三角形ABC中,銳角α的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角α的余切,記作ctanα,即ctanα==
,根據(jù)上述角的余切定義,解下列問(wèn)題:
(1)如圖1,若BC=3,AB=5,則ctanB= ;
(2)ctan60°= ;
(3)如圖2,已知:△ABC中,∠B是銳角,ctan C=2,AB=10,BC=20,試求∠B的余弦cosB的值.
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