Question

【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；

（2）當(dāng)t=1時(shí)，如圖1，將△OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，矩形對角線AC,BO交于M,取OM中點(diǎn)G,BM中點(diǎn)H，求證當(dāng)t=1時(shí)四邊形DGPH是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）B（6,3）；OP=6－t；OQ=+t；（2）D（1,3）；（3）證明過程見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)問題求出OP和OQ的長度；（2）根據(jù)折疊圖形的性質(zhì)求出OQ和DQ的長度，然后根據(jù)勾股定理求出CD的長度，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形進(jìn)行判定．

試題解析：（1）B（6,3）；OP=OA-AP=6-t, OQ=+t．

（2）當(dāng)t=1時(shí)，OP=5，OQ=,則CQ=3-=，

由折疊可知：△OPQ≌△DPQ,

∴OQ=DQ=

由勾股定理,得：CD=1

∴D（1,3）

（3）∵四邊形OABC是矩形，

∴OA=BC,

又∵CD=AP=1，

∴BC-CD=OA-AP,即BD=OP,

∵OM=MB,G為OM中點(diǎn)，H為BM中點(diǎn) ,

∴OG=BH,

∵OA∥BC

∴∠1=∠2

在△POG和△DBH中，OG=BH，∠1=∠2，OP=DB

∴△POG≌△DBH

∴∠OGP=∠BHD，PG=DH

∴∠MGP=∠DHM

∴PG∥DH

又∵PG=DH

∴四邊形DGPH是平行四邊形．