Question

如圖，在△ABC中，點D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB為直徑的交AC于點E，F是上的點，且    

（1）求證：BC是的切線；
（2）若sinC=，AE=，求sin∠AFE的值和AF的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2），5

（1）證明：∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA.
又∵∠C=∠DBC，
∴∠DBA﹢∠DBC＝.
∴AB⊥BC.
又∵AB是的直徑，
∴BC是的切線.………………………………………………………3分
（2）解：如圖，連接BE，
∵AB是的直徑，
∴∠AEB＝90°.
∴∠EBC＋∠C＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠EBC＝90°.
∴∠C＝∠ABE.
又∵∠AFE＝∠ABE，
∴∠AFE＝∠C.
∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC.
∴sin∠AFE＝. …………………………………………………………………6分
連接BF，
∴.
在Rt△ABE中，. ……………………………………8分
∵AF＝BF，
∴. …………………………………………………………………9分
（1）欲證BC是⊙O的切線，只需證明∠ABC=90°即可；
（2）如圖，連接BE，BF，構(gòu)建Rt△AEB和Rt△AFB．利用圓周角定理（同弧所對的圓周角相等）、等量代換以及切線的性質(zhì)推知所求的∠F與已知∠C的數(shù)量關(guān)系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC；然后利用銳角三角函數(shù)的定義可以求得sinF的值和AF的長．