Question

如圖，在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點A在第二象限內(nèi)，點B、點C在x軸的負半軸上，∠CAO=30°，OA=4．
（1）求點C的坐標；
（2）如圖，將△ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到△A′CB′的位置，其中A’C交直線OA于點E，A’B’分別交直線OA、CA于點F、G，則除△A′B′C≌△AOC外，還有哪幾對全等的三角形，請直接寫出答案；（不再另外添加輔助線）
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，將△A′CB′繞點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當△COE的面積為

3

4

時，求直線CE的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析：（1）首先在Rt△ACO中，根據(jù)∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的長，然后就可以得到點C的坐標；
（2）根據(jù)已知條件容易得到△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC；
（3）過點E₁作E₁M⊥OC于點M，利用S_△COE1=4和∠E₁OM=60°可以求出點E₁的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定直線CE的解析式．此題有兩種情況，分別是E在第二或四象限里．

解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C點的坐標為（-2，0）．

（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

（3）如圖1，過點E₁作E₁M⊥OC于點M．
∵S_△COE1=

1

2

CO•E₁M=

3

4

，
∴E₁M=

3

4

．
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，則

-2k1+b1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
∴tan60°=

E1M

OM

&∴OM=

1

4

，
∴點E₁的坐標為（-

1

4

，

3

4

）．
設(shè)直線CE₁的函數(shù)表達式為y=k₁x+b₁，則

-2k1+b 1=0 - 1 4 k1+b1= 3 4

，
解得

k1= 3 7 b1= 2 3 7

．
∴y=

3

7

x+

2 3

7

．
同理，如圖2所示，點E₂的坐標為（

1

4

，-

3

4

）．
設(shè)直線CE₂的函數(shù)表達式為y=k₂x+b₂，則

-2k2+b2=0 1 4 k2+b2=- 3 4

，
解得

k2=- 3 9 b2=- 2 3 9

．
∴y=-

3

9

x-

2 3

9

．

點評：此題是開放性試題，把直角三角形、全等三角形，一次函數(shù)等知識綜合在一起，要求學(xué)生對這些知識比較熟練，利用幾何方法解決代數(shù)問題．