Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長(zhǎng).
小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題.請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問(wèn)題：
(1) 分別以AB、AC為對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱(chēng)圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，求證：四邊形AEGF是正方形；
(2) 設(shè)AD=x，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

Answer 1

（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．
∴四邊形AEGF是正方形．
（2）解：設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x，
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3．
∴BG=x﹣2，CG=x﹣3．
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²
∴（x﹣2）²+（x﹣3）²=5²，
∴（x﹣2）²+（x﹣3）²=5²，化簡(jiǎn)得，x²﹣5x﹣6=0．
解得x₁=6，x₂=﹣1（舍），
所以AD=x=6．

解析