Question

已知：二次函數(shù)y=a（x-1）²+4的圖象如圖所示，拋物線交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，用A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）連接AC、BC，E是線段OC上的動點(diǎn)（不與O、C兩點(diǎn)重合），過E點(diǎn)作直線PE⊥y軸交線段AC于點(diǎn)P，交線段BC于點(diǎn)Q．求證：

CE

CO

=

PQ

AB

．
（3）設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），在線段AB上是否存在一點(diǎn)R，使得以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出n的值，并畫出相應(yīng)的示意圖；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）代入y=a（x-1）²+4，得a（-1-1）²+4=0，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，
令y=0，-（x-1）²+4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（2）證明：∵直線PE⊥y軸交線段AC于點(diǎn)P，交線段BC于點(diǎn)Q，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴

CE

CO

=

PQ

AB

；

（3）在線段AB上存在一點(diǎn)R，使得以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．理由如下
對于y=-（x-1）²+4，令x=0，y=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴△OBC為等腰直角三角形，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得，

3k+b=3 b=3

，
解得k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3；
同理可得直線AC的解析式為：y=-3x+3；
∵E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），0＜n＜3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

n

3

-1，n），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-n，n），
∴QP=3-n-（

n

3

-1）=4-

4n

3

；
若以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，
∴以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，
當(dāng)∠PQR=90°，QR=QP，如圖，
∵PQ∥AB，
∴QR⊥AB，
∴QR=OE=n，
∴n=4-

4n

3

，
解得n=

12

7

，
∴R的坐標(biāo)為（

9

7

，0），
當(dāng)∠QPR=90°，PQ=PR，同理可得n=

12

7

，得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

7

，

12

7

），則R點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

7

，0）；
當(dāng)∠PRQ=90°，RP=RQ，過R作RH⊥PQ于H，如圖，
∴HR=

1

2

PQ，
∴n=

1

2

（4-

4n

3

），
解得n=

6

5

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

5

，

6

5

），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

9

5

，

6

5

），
∴R點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

5

，0）．
所以當(dāng)n=

12

7

，R的坐標(biāo)為（

9

7

，0）或（-

3

7

，0）；當(dāng)n=

6

5

，R點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

5

，0）．