Question

如圖，以邊長為

2

的正方形ABCD的對角線所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B且與直線AB只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（3）若點(diǎn)P為（2）中拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PMC∽△ADC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
由已知可得A（-1，0），B（0，-1）則

-k+b=0 b=-1

∴

k=-1 b=-1

∴直線AB的解析式為：y=-x-1

（2）把B（0，-1）代入拋物線y=x²+bx+c中得c=-1，聯(lián)立

y=-x-1 y=x2+bx-1

得x²+（b+1）x=0，
當(dāng)△=0時(shí)，解得b=-1，
∴拋物線解析式為：y=x²-x-1

（3）存在這樣的點(diǎn)P，使△PMC∽△ADC，
∵△ADC為等腰直角三角形，則△PMC為等腰直角三角形，
即CM=PM=m，
又OC=1，根據(jù)圖象P點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），
代入拋物線解析式y(tǒng)=x²-x-1中，
解方程：（1+m）²-（1+m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=-m；
解得m=-1，1，1±

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1），（2，1），（

2

，1-

2

），（-

2

，1+

2

）．