Question

【題目】如圖1， ⊙O是等邊三角形 的外接圓， 是⊙O上的一個點．

（1）則 =；
（2）試證明： ；
（3）如圖2，過點 作⊙O的切線交射線 于點 ．
①試證明： ；
②若 ，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）60°
（2）證明：如圖1，在PC上取一點E，使得PE=PA，連結(jié)AE，∴△PAE是等邊三角形，∴∠PAB=∠EAC，AP=AE，又∵AB=AC，∴△AEC≌△APB，∴PB=EC，∴PA+PB=PE+CE=PC；

（3）解：①如圖2，作⊙O的直徑AF，連結(jié)PF，則∠PAF+∠F=90°，又∵AD是⊙O的切線，∴∠DAP+∠PAF =90°，∴∠DAP=∠F，∵∠DBA=∠F，∴∠DAP=∠DBA；

②由①可得△DAP∽△DBA，得 ，即 ，∴BD=4，∴PB=3，由①易得△DAP∽△ACP，∴ 即 ，又∵PA+PB=PC，整理得： ，解得PA= ．

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及同弧所對的圓周角相等，即可得出∠ A P C的度數(shù)。
（2）要證PA+PB =PC ，采用截長補短法添加輔助線，在PC上取一點E，使得PE=PA，連結(jié)AE，先證明△AEC≌△APB，得出PB=EC，即可證得結(jié)論。
（3）①如圖2所示，作⊙O的直徑AF，連結(jié)PF，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠PAF+∠F=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠DAP+∠PAF =90°，即可得到∠DAP=∠F，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可證得結(jié)論。②由①可得△DAP∽△DBA，得出對應邊成比例，求出BD的長，再證明△DAP∽△ACP，證得 PA 2 = PC·P D ，又由PA+PB=PC，即可求出PA的長。
【考點精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．