Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交AB的延長線于點E，且AE=AC．（1）試說明：△ABF是等腰三角形；
（2）若AD=DC，試說明：AC=2AB．

Answer 1

分析：（1）根據AAS證出△ABC≌△AFE，根據全等三角形的性質推出即可；
（2）因為AC⊥DE，若AD=DC，則可證明DE是AC的垂直平分線，即F是AC的中點，因為三角形ABC是直角三角形，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵

∠BAC=∠FAE ∠ABC=∠AFE AC=AE

，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF，
∴△ABF是等腰三角形；

（2）∵DE⊥AC于點F，AD=DC，
∴DE是AC的垂直平分線，
∴F是AC的中點，
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BF=

1

2

AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AB

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．