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        1. 【題目】已知,四邊形ABCD是正方形,點P在直線BC上,點G在直線AD上(P、G不與正方形頂點重合,且在CD的同側(cè)),PD=PGDFPG于點H,交直線AB于點F,將線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,連結(jié)EF

          1)如圖1,當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時.

          ①求證:DG=2PC;

          ②求證:四邊形PEFD是菱形;

          2)如圖2,當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時,請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.

          【答案】1①證明見解析;②證明見解析;(2)四邊形PEFD是菱形.理由見解析.

          【解析】試題分析:1①作PMDGM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由PD=PGMG=MD,根據(jù)矩形的判定易得四邊形PCDM為矩形,則PC=MD,于是有DG=2PC;

          ②根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=AB,由四邊形ABPM為矩形得AB=PM,則AD=PM,再利用等角的余角相等得到∠GDH=MPG,于是可根據(jù)“ASA”證明ADF≌△MPG,得到DF=PG,加上PD=PG,得到DF=PD,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EPG=90°,PE=PG,所以PE=PD=DF,再利用DFPG得到DFPE,于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形,加上DF=PD,則可判斷四邊形PEFD為菱形;

          2)與(1)中②的證明方法一樣可得到四邊形PEFD為菱形.

          試題解析:(1①作PMDGM,如圖1

          PD=PG,

          MG=MD,

          ∵四邊形ABCD為矩形,

          PCDM為矩形,

          PC=MD,

          DG=2PC;

          ②∵四邊形ABCD為正方形,

          AD=AB,

          ∵四邊形ABPM為矩形,

          AB=PM,

          AD=PM,

          DFPG,

          ∴∠DHG=90°

          ∴∠GDH+DGH=90°,

          ∵∠MGP+MPG=90°

          ∴∠GDH=MPG,

          ADFMPG ,

          ∴△ADF≌△MPGASA),

          DF=PG,

          PD=PG,

          DF=PD,

          ∵線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,

          ∴∠EPG=90°,PE=PG,

          PE=PD=DF,

          DFPG,

          DFPE,

          DFPE,且DF=PE,

          ∴四邊形PEFD為平行四邊形,

          DF=PD,

          ∴四邊形PEFD為菱形;

          2)解:四邊形PEFD是菱形.理由如下:

          PMDGM,如圖2

          與(1)一樣同理可證得ADF≌△MPG,

          DF=PG

          PD=PG,

          DF=PD

          ∵線段PG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,

          ∴∠EPG=90°,PE=PG,

          PE=PD=DF

          DFPG

          DFPE,

          DFPE,且DF=PE,

          ∴四邊形PEFD為平行四邊形,

          DF=PD

          ∴四邊形PEFD為菱形.

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          B型號數(shù)量(單位:個)

          總售價(單位:元)

          1

          3

          26

          3

          2

          29

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