Question

【題目】（背景介紹）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．

（小試牛刀）把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：

S梯形ABCD= ，

S△EBC= ，

S四邊形AECD= ，

則它們滿足的關(guān)系式為 ，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．

（知識(shí)運(yùn)用）（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為 千米（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．

（知識(shí)遷移）借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式最小值（0＜x＜16）

Answer 1

【答案】【小試牛刀】，，，a（a+b）=b（a-b）+c2．

【知識(shí)運(yùn)用】（1）41；（2）作圖見解析；

【知識(shí)遷移】20.

【解析】

【小試牛刀】

根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出．

【知識(shí)運(yùn)用】

（1）連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．

（2）連接CD，作CD的垂直平分線角AB于P，P即為所求；設(shè)AP=x千米，則BP=（40-x）千米，分別在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通過PC=PD建立方程，解方程即可．

【知識(shí)遷移】

根據(jù)軸對(duì)稱-最短路線的求法即可求出．

[小試牛刀]

S梯形ABCD=

S△EBC=

S四邊形AECD=.

根據(jù)S梯形ABCD= S△EBC + S四邊形AECD，得a（a+b）=b（a-b）+c2．

故答案為：，，，a（a+b）=b（a-b）+c2．

[知識(shí)運(yùn)用]（1）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，

∴BC=AE，CE=AB，

∴DE=AD-AE=25-16=9千米，

∴CD==41千米，

∴兩個(gè)村莊相距41千米．

故答案為41．

（2）如圖2②所示：

設(shè)AP=x千米，則BP=（40-x）千米，

在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=x2+242，

在Rt△BPC中，CP2=BP2+BC2=（40-x）2+162，

∵PC=PD，

∴x2+242=（40-x）2+162，

解得x=16，

即AP=16千米．

[知識(shí)遷移]：如圖3，

代數(shù)式的最小值為：=20．