Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過(guò)N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)N在何位置時(shí)，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣﹣x+1；（2）；（3）當(dāng)N（﹣1，4）時(shí)，BM和NC互相垂直平分．

【解析】

試題分析：方法一：

（1）首先求得A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)M的橫坐標(biāo)是x，則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標(biāo)，利用x表示出MN的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

（3）BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC=MC，據(jù)此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標(biāo)．

方法二：

（1）略．

（2）求出點(diǎn)M，N的參數(shù)坐標(biāo)，并得到MN的長(zhǎng)度表達(dá)式，從而求出MN的最大值．

（3）因?yàn)锽M與NC相互垂直平分，所以四邊形BCMN為菱形，因?yàn)镸N∥BC，所以只需MN=BC可得出四邊形BCMN為平行四邊形，再利用NC⊥BM進(jìn)行求解．

方法一：

解：（1）由直線y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又點(diǎn)（﹣1，4）經(jīng)過(guò)二次函數(shù)，

根據(jù)題意得：，

解得：，

則二次函數(shù)的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）設(shè)N（x，﹣x2﹣x+1），

則M（x，﹣x+1），P（x，0）．

∴MN=PN﹣PM

=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）

=﹣x2﹣x

=﹣（x+）2+，

則當(dāng)x=﹣時(shí)，MN的最大值為；

（3）連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，

即四邊形BCMN是菱形，

則MN=BC，且BC=MC，

即﹣x2﹣x=，

且（﹣x+1）2+（x+3）2=，

解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．

故當(dāng)N（﹣1，4）時(shí)，BM和NC互相垂直平分．

方法二：

（1）略．

（2）設(shè)N（t，﹣），

∴M（t，﹣t+1），

∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，

∴MN=﹣，

當(dāng)t=﹣時(shí)，MN有最大值，MN=．

（3）若BM與NC相互垂直平分，則四邊形BCMN為菱形．

∴NC⊥BM且MN=BC=，

即﹣=，

∴t1=﹣1，t2=﹣2，

①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），

∴KNC==2，

∵KAB=﹣，

∴KNC×KAB=﹣1，

∴NC⊥BM．

②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），

∴KNC==，KAB=﹣，

∴KNC×KAB≠﹣1，此時(shí)NC與BM不垂直．

∴滿足題意的N點(diǎn)坐標(biāo)只有一個(gè)，N（﹣1，4）．