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        1. 【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1,4),且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點(diǎn)(如圖),A點(diǎn)在y軸上,過(guò)點(diǎn)B作BCx軸,垂足為點(diǎn)C(﹣3,0).

          (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

          (2)點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)(點(diǎn)N在AB上方),過(guò)N作NPx軸,垂足為點(diǎn)P,交AB于點(diǎn)M,求MN的最大值;

          (3)在(2)的條件下,點(diǎn)N在何位置時(shí),BM與NC相互垂直平分?并求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo).

          【答案】(1)y=﹣x+1;(2);(3)當(dāng)N(﹣1,4)時(shí),BM和NC互相垂直平分.

          【解析】

          試題分析:方法一:

          (1)首先求得A、B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;

          (2)設(shè)M的橫坐標(biāo)是x,則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式,即可利用x表示出M、N的坐標(biāo),利用x表示出MN的長(zhǎng),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;

          (3)BM與NC互相垂直平分,即四邊形BCMN是菱形,則BC=MC,據(jù)此即可列方程,求得x的值,從而得到N的坐標(biāo).

          方法二:

          (1)略.

          (2)求出點(diǎn)M,N的參數(shù)坐標(biāo),并得到MN的長(zhǎng)度表達(dá)式,從而求出MN的最大值.

          (3)因?yàn)锽M與NC相互垂直平分,所以四邊形BCMN為菱形,因?yàn)镸NBC,所以只需MN=BC可得出四邊形BCMN為平行四邊形,再利用NCBM進(jìn)行求解.

          方法一:

          解:(1)由直線y=﹣x+1可知A(0,1),B(﹣3,),又點(diǎn)(﹣1,4)經(jīng)過(guò)二次函數(shù),

          根據(jù)題意得:,

          解得:

          則二次函數(shù)的解析式是:y=﹣x+1;

          (2)設(shè)N(x,﹣x2x+1),

          則M(x,﹣x+1),P(x,0).

          MN=PN﹣PM

          =﹣x2x+1﹣(﹣x+1)

          =﹣x2x

          =﹣(x+2+

          則當(dāng)x=﹣時(shí),MN的最大值為;

          (3)連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分,

          即四邊形BCMN是菱形,

          則MN=BC,且BC=MC,

          即﹣x2x=,

          且(﹣x+1)2+(x+3)2=,

          解x2+3x+2=0,得:x=﹣1或x=﹣2(舍去).

          故當(dāng)N(﹣1,4)時(shí),BM和NC互相垂直平分.

          方法二:

          (1)略.

          (2)設(shè)N(t,﹣),

          M(t,﹣t+1),

          MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1,

          MN=,

          當(dāng)t=﹣時(shí),MN有最大值,MN=

          (3)若BM與NC相互垂直平分,則四邊形BCMN為菱形.

          NCBM且MN=BC=,

          即﹣=,

          t1=﹣1,t2=﹣2,

          ①t1=﹣1,N(﹣1,4),C(﹣3,0),

          KNC==2,

          KAB=﹣,

          KNC×KAB=﹣1,

          NCBM

          ②t2=﹣2,N(﹣2,),C(﹣3,0),

          KNC==,KAB=﹣,

          KNC×KAB≠﹣1,此時(shí)NC與BM不垂直.

          滿足題意的N點(diǎn)坐標(biāo)只有一個(gè),N(﹣1,4).

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