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        1. 【題目】如圖,RtABC中,ABC=90°,以AB為直徑作半圓O交AC與點(diǎn)D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),連接DE.

          (1)求證:DE是半圓O的切線.

          (2)若BAC=30°,DE=2,求AD的長(zhǎng).

          【答案】(1)見解析;(2)6.

          【解析】

          試題分析:(1)連接OD,OE,由AB為圓的直徑得到三角形BCD為直角三角形,再由E為斜邊BC的中點(diǎn),得到DE=BE=DC,再由OB=OD,OE為公共邊,利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到DE與OD垂直,即可得證;

          (2)在直角三角形ABC中,由BAC=30°,得到BC為AC的一半,根據(jù)BC=2DE求出BC的長(zhǎng),確定出AC的長(zhǎng),再由C=60°,DE=EC得到三角形EDC為等邊三角形,可得出DC的長(zhǎng),由AC﹣CD即可求出AD的長(zhǎng).

          (1)證明:連接OD,OE,BD,

          AB為圓O的直徑,

          ∴∠ADB=BDC=90°,

          在RtBDC中,E為斜邊BC的中點(diǎn),

          DE=BE,

          OBEODE中,

          ,

          ∴△OBE≌△ODE(SSS),

          ∴∠ODE=ABC=90°,

          則DE為圓O的切線;

          (2)在RtABC中,BAC=30°,

          BC=AC,

          BC=2DE=4,

          AC=8

          ∵∠C=60°,DE=CE,

          ∴△DEC為等邊三角形,即DC=DE=2,

          則AD=AC﹣DC=6.

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