Question

（2010•邢臺一模）如圖所示，一圓柱高AB為5cm，BC是底面直徑，設底面半徑長度為acm，求點P從A點出發(fā)沿圓柱表面移動到點C的最短路線．

方案設計
某班數學興趣小組設計了兩種方案：
圖1是方案一的示意圖，該方案中的移動路線的長度為l₁，則l₁=5+2a（cm）；
圖2是方案二的示意圖，設l₂是把圓柱沿AB側面展開的線段AC的長度，則l₂=

25+π2a2

cm（保留π）．
計算探究

①當a=3時，比較大�。簂₁

＞

 l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
②當a=4時，比較大�。簂₁

＜

 l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
延伸拓展
在一般情況下，設圓柱的底面半徑為rcm．高為hcm．
①若l₁²=l₂²，求h與r之間的關系；
②假定r取定值，那么h取何值時，l₁＜l₂？
③假定r取定值，那么h取何值時，l₁＞l₂？

Answer 1

分析：易得l₂為直角邊長為5和圓柱的底面周長的一半的直角三角形的斜邊長；
把相關數值代入計算后，即可得到大小關系；
先把相關數值代入①即可得到h與r之間的關系，進而利用得到關系式可推出②③．

解答：解：l₂=

25+π2a2

cm；
當a=3時，（l₁）²=121；（l₂）²=25+9π²；∴l(xiāng)₁＞l₂，
當a=4時，（l₁）²=169；（l₂）²=25+16π²；
∴l(xiāng)₁＜l₂，
故答案為

25+π2a2

；＞；＜．
①（2r+h）²=h²+π²r²，
r=

4h

π2-4

；
②l₁²＜l₂²時，l₁＜l₂，
（2r+h）²＜h²+π²r²，
h＜

π2r-4r

4

，
③由②可得h＞

π2r-4r

4

時，l₁＞l₂．

點評：本題考查了平面展開-最短路徑問題；比較兩個數的大小，有時比較兩個數的平方比較簡便；注意運用類比的方法做類型題．