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        1. 【題目】如圖,AB是O的直徑,C是O上的一點(diǎn),過點(diǎn)A作ADCD于點(diǎn)D,交O于點(diǎn)E,且=

          (1)求證:CD是O的切線;

          (2)若tanCAB=,BC=3,求DE的長.

          【答案】(1)見解析;(2)

          【解析】

          試題分析:(1)連接OC,由=,根據(jù)圓周角定理得1=2,而1=OCA,則2=OCA,則可判斷OCAD,由于ADCD,所以O(shè)CCD,然后根據(jù)切線的判定定理得到CD是O的切線;

          (2)連接BE交OC于F,由AB是O的直徑得ACB=90°,在RtACB中,根據(jù)正切的定義得AC=4,再利用勾股定理計(jì)算出AB=5,然后證明RtABCRtACD,利用相似比先計(jì)算出AD=,再計(jì)算出CD=;根據(jù)垂徑定理的推論由=得OCBE,BF=EF,于是可判斷四邊形DEFC為矩形,所以EF=CD=,則BE=2EF=,然后在RtABE中,利用勾股定理計(jì)算出AE=,再利用DE=AD﹣AE求解.

          (1)證明:連接OC,如圖,

          =,

          ∴∠1=2,

          OC=OA,

          ∴∠1=OCA,

          ∴∠2=OCA,

          OCAD,

          ADCD,

          OCCD

          CDO的切線;

          (2)解:連接BE交OC于F,如圖,

          ABO的直徑,

          ∴∠ACB=90°,

          在RtACB中,tanCAB==,

          而BC=3,

          AC=4

          AB==5,

          ∵∠1=2

          RtABCRtACD,

          =,即=,解得AD=

          =,即=,解得CD=,

          =,

          OCBE,BF=EF,

          四邊形DEFC為矩形,

          EF=CD=,

          BE=2EF=

          AB為直徑,

          ∴∠BEA=90°

          在RtABE中,

          AE===

          DE=AD﹣AE==

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