Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A(0，3)，C(2，n)兩點(diǎn)，直線l：y＝x+2過C點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)B，拋物線上有一動點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線EF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)D

(1)求拋物線的解析式．

(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動時(shí)，連接BE，BF，是否存在點(diǎn)E使直線BC將△BEF的面積分為2：3兩部分？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在說明理由；

(3)如圖2，若點(diǎn)E在y軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動，連接AE，當(dāng)∠AED＝∠ABC時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，E（，）或（，）；（3）點(diǎn)E（，）或（，）．

【解析】

（1）直線l：y＝x+2過C點(diǎn)，則點(diǎn)C（2，3），y＝x+2過C點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)B，則點(diǎn)B（0，2），即可求解；（2）＝=＝或，即可求解；（3）分當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上方、點(diǎn)E在直線BC的下方兩種情況，分別求解即可．

（1）直線l：y＝x+2過點(diǎn)C（2，n），且與y軸交于點(diǎn)B，

∴n=×2+2=3，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴B（0，2），C（2，3）

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）設(shè)點(diǎn)E（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)D（m，m+2），

∴DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，

＝=＝或，

解得：m＝或，

∴﹣m2+2m+3=，或﹣m2+2m+3=，

∴點(diǎn)E（，）或（，）；

（3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），則點(diǎn)D（m，m+2），

DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上方時(shí)，

∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°，

∵∠AED＝∠ABC，

∴∠AED+∠EDB＝180°，

∴AE∥CD，

∴四邊形ABDE為平行四邊形，

∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1，

解得：m＝0或（舍去0）；

∴﹣m2+2m+3=，即E（，）.

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在直線BC的下方時(shí)，

設(shè)AE、BD交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作x軸的平行線交DE于點(diǎn)M

∵AB∥DE，

∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC，

∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC，

∴△NAB、△DEN都是以點(diǎn)N為頂點(diǎn)的等腰三角形，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)和AB中點(diǎn)的坐標(biāo)同為，

由中點(diǎn)公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝，

解得：m＝0或（舍去0），

∴﹣m2+2m+3=，即E（，）．

綜上，點(diǎn)E（，）或（，）．