Question

【題目】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE，BD交于點O，AE與DC交于點M，BD與AC交于點N．
（1）如圖1，求證：AE=BD；
（2）如圖2，若AC=DC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△ACE與△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，

（2）解：∵AC=DC，

∴AC=CD=EC=CB，

△ACB≌△DCE（SAS）；

由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC

∴∠DOM=90°，

∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，

∴△EMC≌△BCN（ASA），

∴CM=CN，

∴DM=AN，

△AON≌△DOM（AAS），

∵DE=AB，AO=DO，

∴△AOB≌△DOE（HL）

【解析】（1）根據(jù)全等三角形的性質即可求證△ACE≌△BCD，從而可知AE=BD；（2）根據(jù)條件即可判斷圖中的全等直角三角形；
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能正確解答此題．