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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,已知二次函數y=﹣x2+bx+c(b,c為常數)的圖象經過點A(3,1),點C(0,4),頂點為點M,過點A作AB∥x軸,交y軸于點D,交該二次函數圖象于點B,連結BC.

          (1)求該二次函數的解析式及點M的坐標;
          (2)若將該二次函數圖象向下平移m(m>0)個單位,使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部(不包括△ABC的邊界),求m的取值范圍;
          (3)點P是直線AC上的動點,若點P,點C,點M所構成的三角形與△BCD相似,請直接寫出所有點P的坐標(直接寫出結果,不必寫解答過程).

          【答案】
          (1)

          解:把點A(3,1),點C(0,4)代入二次函數y=﹣x2+bx+c得,

          解得

          ∴二次函數解析式為y=﹣x2+2x+4,

          配方得y=﹣(x﹣1)2+5,

          ∴點M的坐標為(1,5)


          (2)

          解:設直線AC解析式為y=kx+b,把點A(3,1),C(0,4)代入得,

          解得

          ∴直線AC的解析式為y=﹣x+4,如圖所示,對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F

          把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3,則點E坐標為(1,3),點F坐標為(1,1)

          ∴1<5﹣m<3,解得2<m<4


          (3)

          解:連接MC,作MG⊥y軸并延長交AC于點N,則點G坐標為(0,5)

          ∵MG=1,GC=5﹣4=1

          ∴MC= = ,

          把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,則點N坐標為(﹣1,5),

          ∵NG=GC,GM=GC,

          ∴∠NCG=∠GCM=45°,

          ∴∠NCM=90°,

          由此可知,若點P在AC上,則∠MCP=90°,則點D與點C必為相似三角形對應點

          ①若有△PCM∽△BDC,則有

          ∵BD=1,CD=3,

          ∴CP= = = ,

          ∵CD=DA=3,

          ∴∠DCA=45°,

          若點P在y軸右側,作PH⊥y軸,

          ∵∠PCH=45°,CP=

          ∴PH= =

          把x= 代入y=﹣x+4,解得y= ,

          ∴P1 );

          同理可得,若點P在y軸左側,則把x=﹣ 代入y=﹣x+4,解得y=

          ∴P2 );

          ②若有△PCM∽△CDB,則有

          ∴CP= =3

          ∴PH=3 ÷ =3,

          若點P在y軸右側,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;

          若點P在y軸左側,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7

          ∴P3(3,1);P4(﹣3,7).

          ∴所有符合題意得點P坐標有4個,分別為P1 ),P2 ),P3(3,1),P4(﹣3,7)


          【解析】(1)將點A、點C的坐標代入函數解析式,即可求出b、c的值,通過配方法得到點M的坐標;(2)點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的,可先求出直線AC的解析式,將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值,即可得到m的取值范圍;(3)由題意分析可得∠MCP=90°,則若△PCM與△BCD相似,則要進行分類討論,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種,然后利用邊的對應比值求出點坐標.

          練習冊系列答案
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          (2)求證:BM2=BEAB;
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          (1)寫出點B的坐標   ,   );

          (2)當點P移動了4秒時,描出此時P點的位置,并求出點P的坐標;

          (3)在移動過程中,當點Px軸距離為4個單位長度時,求點P移動的時間.

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