Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC，交∠ACB的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）求證：OC=

1

2

EF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O位于AC邊的什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由于CE平分∠ACB，MN∥BC，故∠BCE=∠OEC=∠OCE，OE=OC，同理可得OC=OF，故0C=

1

2

EF；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理可知，當(dāng)OA=OC時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形．由于CE、CF分別是∠ECO與∠OCF的平分線(xiàn)，故∠ECF是直角，則四邊形AECF是矩形．

解答：證明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠BCE=∠OEC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OC=OE=OF，
故0C=

1

2

EF；

（2）當(dāng)點(diǎn)O位于AC邊的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
由（1）知OE=OF，
又O為AC邊的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECO=

1

2

∠ACB，∠OCF=

1

2

∠ACD，
∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線(xiàn)，角平分線(xiàn)，平行四邊形及矩形的判定與性質(zhì)，是一道有一定的綜合性的好題．