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        1. (本題10分)如圖,△ABC的邊BC在直線上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線上,邊EF與邊AC重合,且EF=FP.

          (1)示例:在圖1中,通過觀察、測量,猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系.

          答:AB與AP的數(shù)量關系和位置關系分別是_____________、______________.

          (2)將△EFP沿直線向左平移到圖2的位置時,EP交AC于點Q,連結(jié)AP,BQ.請你觀察、測量,猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系.

          答:BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系分別是_____________、______________.

          (3)將△EFP沿直線向左平移到圖7-3的位置時,EP的延長線交AC的延長線于點Q,連結(jié)AP、BQ.你認為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎?若成立,選擇位置關系或數(shù)量關系給出證明;若不成立,請說明理由.

           

           

          (1)BQ=AP,BQ⊥AP;(2)BQ=AP,BQ⊥AP;(3)成立,理由見試題解析.

          【解析】

          試題分析:(1)由于AC⊥BC,且AC=BC,邊EF與邊AC重合,且EF=FP,則△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠CAP=45°,AB=AP,則∠BAP=90°,于是AP⊥AB;

          (2)延長BO交AP于H點,可得到△OPC為等腰直角三角形,則有OC=PC,根據(jù)“SAS”可判斷△ACP≌△BCO,則AP=BO,∠CAP=∠CBO,利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°,即AP⊥BO;

          (3)BO與AP所滿足的數(shù)量關系為相等,位置關系為垂直.證明方法與(2)一樣.

          試題解析:(1)AB=AP,AB⊥AP;

          (2)BQ=AP,BQ⊥AP;

          (3)成立.理由如下:

          ∵∠EPF=45°,∴∠CPQ=45°.

          ∵AC⊥BC,∴∠CQP=∠CPQ,CQ=CP.

          在Rt△BCQ和Rt△ACP中,∵BC=AC,∠BCQ=∠ACP,CQ=CP,∴Rt△BCQ≌Rt△ACP(SAS),

          ∴BQ=AP;

          延長QB交AP于點N,∴∠PBN=∠CBQ.

          ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP,∴∠BQC=∠APC.

          在Rt△BCQ中,∵∠BCQ+∠CBQ=90°,∴∠APC+∠PBN=90°,∴∠PNB=90°,∴QB⊥AP.

          考點:全等三角形的判定與性質(zhì).

           

          練習冊系列答案
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          (2)將△A1B1C1向下平移3個單位長度,畫出平移后的△A2B2C2.

           

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