Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0）、B（0，b）、D（﹣d，d），連BD交x軸于E．

（1）如圖1，若a、b、d滿足（a﹣4）2+（a﹣b）2+＝0，求△ADE的面積．

（2）如圖2，在（1）的條件下，點P在x軸上A點右側(cè)，連BP過點P作PQ⊥PB交直線AD于Q，求證：PQ＝PB．

（3）如圖3，設(shè)AB＝c，且d＝﹣2．當BD平分∠ABO時，試求a﹣b+c的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）4．

【解析】

（1）作DC∥OA交y軸于C，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b、d，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OE，得到AE的長，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；

（2）作DG⊥OA于G，連接BQ，根據(jù)圓周角定理得到∠QBP＝∠QAP＝45°，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明；

（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長線于K，根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)得到DF＝DH＝2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DK＝2，得到DH＝DK，證明Rt△DAH≌Rt△DAK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AK＝AH＝a﹣2，根據(jù)BK＝BF列式計算，得到答案．

解：（1）∵（a﹣4）2+（a﹣b）2+＝0，

∴（a﹣4）2＝0，（a﹣b）2＝0，＝0，

∴a﹣4＝0，a﹣b＝0，d+2＝0，

解得，a＝b＝4，d＝﹣2，

如圖1，作DC∥OA交y軸于C，

則△BOE∽△BCD，

∴＝，即＝，

解得，OE＝，

則AE＝OA﹣OE＝，

∴△ADE的面積＝××2＝；

（2）如圖2，作DG⊥OA于G，連接BQ，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠BAO＝45°，

∵AG＝OA﹣OG＝2，

∴AG＝DG，

∴∠DAG＝45°，

∴∠BAQ＝∠BAD＝90°，∠QAP＝∠DAG＝45°，

∵∠BAQ＝∠BPQ＝90°，

∴點A、B、Q、P四點共圓，

∴∠QBP＝∠QAP＝45°，又∠BPQ＝90°，

∴PQ＝PB；

（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長線于K，

則DF＝DH＝2，

∵BD平分∠ABO，DF⊥y軸，DK⊥BA，

∴DF＝DK＝2，

∴DH＝DK，BK＝BF＝b+2，

在Rt△DAH和Rt△DAK中，

，

∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）

∴AK＝AH＝a﹣2，

∴BK＝c+a﹣2，

∴c+a﹣2＝b+2，

∴a﹣b+c＝4．