Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y = ax2+ bx + c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點(diǎn)E，作PD⊥AB于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在直線x = -2上是否存在點(diǎn)M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）點(diǎn)（-，），△PDE的周長(zhǎng)最大；（3）點(diǎn)M（-2，）或（-2，-）．

【解析】

（1）將A、B、C三點(diǎn)代入，利用待定系數(shù)法求解析式；

（2）根據(jù)坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，則△PDE的周長(zhǎng)越大.聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式可得交點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線x=-2的對(duì)稱點(diǎn)D，利用∠MAC = 2∠MCA可推導(dǎo)得MD=CD，進(jìn)而求得ME的長(zhǎng)度，從而得出M坐標(biāo)

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，解得：，

所以，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x軸，∴∠AEF=90°-45°=45°，

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周長(zhǎng)越大，易得直線AB的解析式為y=x+3，

設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，

聯(lián)立，消掉y得，x2+3x+m-3=0，

當(dāng)△=9-4（m-3）=0，即m=時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，PD最長(zhǎng)，

此時(shí)x=-，y=，∴點(diǎn)（-，），△PDE的周長(zhǎng)最大；

（3）設(shè)直線x=-2與x軸交于點(diǎn)E，作點(diǎn)A關(guān)于直線x=-2的對(duì)稱點(diǎn)D，則D（-1，0），連接MA，MD，MC．

∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，

∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴ME=

∴點(diǎn)M（-2，）或（-2，-）．