Question

【題目】已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）

（1）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CP的長；

（2）當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意易得AB=13，由Q是BC中點(diǎn)，PQ∥AC可得點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，從而可得CP=AB=；

（2）當(dāng)AC與PQ不平行時(shí)，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．根據(jù)圓中，直徑所對的圓周角是直角，以CQ為直徑作半圓D，當(dāng)半圓D和直線AB有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到公共點(diǎn)處，∠PCQ就是直角；由此以CQ為直徑作半圓D，當(dāng)半圓D與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接DM，則DM⊥AB，設(shè)CD=x，則CQ=2x，DM=x，DB=12﹣x；在Rt△DMB中，由DB2=DM2+MB2，結(jié)合已知條件建立關(guān)于x的方程即可解得x的值，從而可得對應(yīng)的CQ的值，再結(jié)合只有當(dāng)半圓D與直線AB有公共點(diǎn)時(shí)，∠PCQ才有可能是直角即可求得CQ的取值范圍.

試題解析：

（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=5，BC=12，

∴AB=13；

∵Q是BC的中點(diǎn)，

∴CQ=QB；

又∵PQ∥AC，

∴AP=PB，即P是AB的中點(diǎn)，

∴Rt△ABC中，CP=．

（2）當(dāng)AC與PQ不平行時(shí)，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．

以CQ為直徑作半圓D，當(dāng)半圓D與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接DM，則

DM⊥AB，且AC=AM=5，

∴MB=AB﹣AM=13﹣5=8；

設(shè)CD=x，則DM=x，DB=12﹣x；

在Rt△DMB中，DB2=DM2+MB2，

即（12﹣x）2=x2+82，

解之得x=，

∴CQ=2x=；

即當(dāng)CQ=且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)M位置時(shí)，△CPQ為直角三角形．

②當(dāng)＜CQ＜12時(shí)，半圓D與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，△CPQ為直角三角形

③當(dāng)0＜CQ＜時(shí)，半圓D與直線AB相離，即點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，均在半圓D外，∠CPQ＜90°，此時(shí)△CPQ不可能為直角三角形．

∴當(dāng)≤CQ＜12時(shí)，△CPQ可能為直角三角形．