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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          如圖,頂點坐標為(1,9)的拋物線交x軸于點A(-2,0)、B兩點,交y軸于點C,過A、B、C三點的精英家教網⊙O′交y軸于另一點D,交拋物線于另一點P,過原點O且垂直于AD的直線交AD于點H,交BC于點G.
          (1)求拋物線的解析式和點G的坐標;
          (2)設直線x=m交拋物線于點E,交直線OG于點F,是否存在實數m,使G、P、E、F為一個平行四邊形的四個頂點?如果存在,求出m的所有值;如果不存在,請說明理由.
          分析:(1)已知頂點坐標為(1,9),設出二次函數的頂點式,代入點A坐標即可解答,進一步利用勾股定理、相交弦定理及射影定理求得點H坐標,求得直線OH解析式與直線BC聯(lián)立方程即可求出點G坐標;
          (2)利用平行四邊形的判定PG平行且相等于EF,聯(lián)立方程解答即可.
          解答:解:(1)設拋物線解析式為y=a(x-1)2+9,
          把點A(-2,0)代入解析式解得a=-1,
          因此函數解析式為y=-x2+2x+8;
          點C為(0,8),B為(4,0),
          由相交弦定理,得OA|•|OB|=|OC|•|OD|,即2×4=8×|OD|,|OD|=1,
          ∵點D在y軸的負半軸上,
          ∴點D的坐標為(0,-1).
          在Rt△AOD中,|OA|=2,|OD|=1,OH⊥AD,
          ∴由勾股定理,有AD=
          22+12
          =
          5

          又∵|OA|•|OD|=|AD|•|OH|,
          ∴|OH|=
          2
          5
          5
          ,
          ∵|OA|2=|AH|•|AD|,即22=|AH|,
          ∴|AH|=4,
          同理,由|OD|2=|DH|•|AD|,得|DH|=
          5
          5
          ,
          設點H(x,y),且x<0,y<0.
          在Rt△AOH中,|AH|•|OH|=|y|•|OA|,
          ∴|y|=
          4
          5

          ∴y=-
          4
          5
          在Rt△DOE中,|DH|•|OH|=|x|•|OD|,
          ∴|x|=
          2
          5
          ,x=-
          2
          5
          ,
          ∴點H的坐標是(-
          2
          5
          ,-
          4
          5
          ).
          設直線OH的方程為y=kx (k≠0).
          ∵直線OH經過點H,
          ∴解得k=2,
          ∴直線OH的方程為y=2x;
          由對稱當得點P的坐標為(2,8),設直線BC的方程為y=kx+b (k≠0),
          則有
          4k+b=0
          b=8
          ,解得
          k=-2
          b=8
          ,
          ∴直線BC的方程為y=-2x+8,聯(lián)立方程組
          y=-2x+8
          y=2x
          ,精英家教網
          解得
          x=2
          y=4

          ∴點G的坐標為(2,4);

          (2)∵點P(2,8),點G(2,4),
          ∴PG∥EF,
          設點E的坐標為(m,-m2+2m+8),點F的坐標的(m,2m),
          要使四邊形PGEF為平行四邊形,已知PQ∥EF,尚需條件|EF|=|PQ|,
          由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4,得|-m2+8|=4,
          解得m=±2,或m=±2
          3
          而m=2,不合題意,應舍去,
          ∴存在實數m=-2,或m=±2
          3
          使得以P、G、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形.
          點評:此題考查待定系數法求函數解析式,勾股定理、相交弦定理、射影定理以及平行四邊形的判定,是一道難題.
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          (2)設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D,連接AC、AD,求△ACD的面積;
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