Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D在對(duì)稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由；
②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)∠BMF=∠MFO時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）。
（2）D（4，）。
（3）①四邊形OAEB是平行四邊形。理由如見解析
②線段BM的長(zhǎng)為或。

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。
（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點(diǎn)B與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相同，解一元二次方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形。
②點(diǎn)M在點(diǎn)B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論：
∵O（0，0），B（1，），F(xiàn)為OB的中點(diǎn)，∴F（，）。
過(guò)點(diǎn)F作FN⊥直線BD于點(diǎn)N，則FN=﹣=，BN=1﹣=。
在Rt△BNF中，由勾股定理得：。
∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF。
（I）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)．
在直線BD上點(diǎn)B左側(cè)取一點(diǎn)G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG﹣BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：。

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG。
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF。
又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF。
∴，即。
∴BM=。
（II）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
設(shè)BD與y軸交于點(diǎn)K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，
∴KF=OB=FB=�！唷螰KB=∠FBM=2∠BMF。
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK�！郙K=KF=。
∴BM=MK+BK=+1=。
綜上所述，線段BM的長(zhǎng)為或。