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        1. 【題目】如圖,拋物線y1=2+bx+c與x軸交于點A、B,交y軸于點C(0,﹣2),且拋物線對稱軸x=﹣2交x軸于點D,E是拋物線在第3象限內(nèi)一動點.

          (1)求拋物線y1的解析式;

          (2)將△OCD沿CD翻折后,O點對稱點O′是否在拋物線y1上?請說明理由.

          (3)若點E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸上,過E′作x軸的垂線交拋物線y1于點F,①求點F的坐標(biāo);②直線CD上是否存在點P,使|PE﹣PF|最大?若存在,試寫出|PE﹣PF|最大值.

          【答案】(1)拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;(2)O點對稱點O′不在拋物線y1上,理由見解析;(3)①F(2,6﹣2);②直線CD上存在點P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

          【解析】試題分析:(1)先由拋物線對稱軸方程可求出b=2,再把點C0,﹣2)代入y1=x2+bx+c可得c=2,所以拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;

          2)過O′點作O′Hx軸于H,如圖1,由(1)得D﹣2,0),C0,2),在RtOCD中利用三角函數(shù)可計算出ODC=60°,再利用折疊的性質(zhì)得O′D=OD=2,O′DC=ODC=60°,所以O′DH=60°,接著在RtO′DH中利用三角函數(shù)可計算出O′H=,利用勾股定理計算出DH=1,則O′﹣3,),然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征判斷O′點是否在拋物線y1上;

          3利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征設(shè)Em, m2+2m﹣2)(m0),過EEHx軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣mEH=﹣m2﹣2m+2,由(2)得ODC=60°,再利用軸對稱性質(zhì)得DC平分EDE′,DE=DE′,則EDE′=120°,所以EDH=60°,于是在RtEDH中利用三角函數(shù)的定義可得m2﹣2m+2=﹣2﹣m,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,則E﹣4,﹣2),接著計算出DE=4,所以DE′=4,于是得到E′2,0),然后計算x=2時得函數(shù)值即可得到F點坐標(biāo);

          由于點E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸,則PE=PE′,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點PE′F共線時,取等號),于是可判斷直線CD上存在點P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

          試題解析:(1拋物線對稱軸x=﹣2,

          =﹣2,

          解得b=2

          C0,﹣2)在拋物線y1=x2+bx+c上,

          c=2

          拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;

          2O點對稱點O′不在拋物線y1上.理由如下:

          O′點作O′Hx軸于H,如圖1,由(1)得D﹣2,0),C02),

          RtOCD中,OD=2,OC=,

          tanODC==,

          ∴∠ODC=60°

          ∵△OCD沿CD翻折后,O點對稱點O′,

          ∴O′D=OD=2,∠O′DC=∠ODC=60°

          ∴∠O′DH=60°,

          RtO′DH中,sinO′DH=,

          O′H=2sin60°=,

          DH==1,

          O′﹣3),

          當(dāng)x=﹣3時,y1=x2+2x﹣2=×9+2×﹣3﹣2≠﹣,

          ∴O′點不在拋物線y1上;

          3設(shè)Emm2+2m﹣2)(m0),

          EEHx軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣m,EH=﹣m2+2m﹣2=﹣m2﹣2m+2,

          由(2)得∠ODC=60°,

          E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸上,

          ∴DC垂直平分EE′,

          ∴DC平分∠EDE′,DE=DE′,

          ∴∠EDE′=120°,

          ∴∠EDH=60°

          RtEDH中,tanEDH=,

          EH=HDtan60°,即m2﹣2m+2=﹣2﹣m

          整理得m2+4+2m﹣8=0,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,

          E﹣4﹣2),

          HD=2EH=2,

          DE==4,

          ∴DE′=4,

          ∴E′2,0),

          E′F⊥x軸,

          ∴F點的橫坐標(biāo)為2

          當(dāng)x=2時,y1=x2+2x﹣2=6﹣2,

          F2,6﹣2);

          ②∵E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸,

          ∴PE=PE′,

          ∴|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點PE′F共線時,取等號),

          直線CD上存在點P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

          練習(xí)冊系列答案
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          3)如圖2,動點P 從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度向點A運動,同時另一個動點Q從點A出發(fā)沿AC以相同速度向終點C運動,且P、Q同時停止,分別以PQBP為邊在x軸上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形頂點按順時針順序),當(dāng)正方形PQEF和正方形BPGH重疊部分是一個軸對稱圖形時,請求出此時軸對稱圖形的面積.

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          (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

          (2)根據(jù)圖象直接寫出使得y1>y2時,x的取值范圍.

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          (2)求∠AEB的度數(shù).

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