Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)A（1，0）且與y軸平行，直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)B（0，2）且與x軸平行，直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2相交于點(diǎn)P．點(diǎn)E為直線(xiàn)l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù) （k＞0）的圖象過(guò)點(diǎn)E與直線(xiàn)l1相交于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△PEF全等？若存在，求E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，則k=1×2=2
（2）解：當(dāng)k＞2時(shí)，如圖1，

點(diǎn)E、F分別在P點(diǎn)的右側(cè)和上方，過(guò)E作x軸的垂線(xiàn)EC，垂足為C，過(guò)F作y軸的垂線(xiàn)FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形，

∵PF⊥PE，

∴S△FPE= PEPF= （ ﹣1）（k﹣2）= k2﹣k+1，

∴四邊形PFGE是矩形，

∴S△PFE=S△GEF，

∴S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE= k﹣ ﹣（ k2﹣k+1）﹣ = k2﹣1，

∵S△OEF=2S△PEF，

∴ k2﹣1=2（ k2﹣k+1），

解得k=6或k=2，

∵k=2時(shí)，E、F重合，

∴k=6，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2）

（3）解：存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得△MEF≌△PEF，

①當(dāng)k＜2時(shí)，如圖2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，

∵∠MHF=∠EBM=90°，∠HMF=∠MEB，

∴△FHM∽△MBE，

∴ ，

∵FH=1，EM=PE=1﹣ ，F(xiàn)M=PF=2﹣k，

∴ = ，BM= ，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，

∴（1﹣ ）2=（ ）2+（ ）2，

解得k= ，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2），

②當(dāng)k＞2時(shí)，如圖3，

只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得， ，

∵FQ=1，EM=PF=k﹣2，F(xiàn)M=PE= ﹣1，

∴ = ，BM=2，

在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，

∴（k﹣2）2=（ ）2+22，解得k= 或0，但k=0不符合題意，

∴k= ．

此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2），

∴符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2）（ ，2）．

【解析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy進(jìn)行解答即可；（2）當(dāng)k＞2時(shí)，點(diǎn)E、F分別在P點(diǎn)的右側(cè)和上方，過(guò)E作x軸的垂線(xiàn)EC，垂足為C，過(guò)F作y軸的垂線(xiàn)FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形，再求出S△FPE= k2﹣k+1，根據(jù)S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGF﹣S△OCE即可求出k的值，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）①當(dāng)k＜2時(shí)，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2 ， 求出k的值，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)； ②當(dāng)k＞2時(shí)，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得， ，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2 ， 求出k的值，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．