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        1. (2007•巴中)如圖,以邊長為的正方形ABCD的對角線所在直線建立平面直角坐標系,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B且與直線AB只有一個公共點.
          (1)求直線AB的解析式;
          (2)求拋物線y=x2+bx+c的解析式;
          (3)若點P為(2)中拋物線上一點,過點P作PM⊥x軸于點M,問是否存在這樣的點P,使△PMC∽△ADC?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)根據(jù)正方形對角線的性質(zhì),當AB=時,OA=OB=1,可求直線AB的解析式;
          (2)把B(0,-1)代入拋物線y=x2+bx+c中得c=-1,聯(lián)立直線與拋物線解析式,得方程組,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,當直線與拋物線有唯一公共點時,△=0,可求b;
          (3)∵△ADC為等腰直角三角形,則△PMC為等腰直角三角形,即CM=PM=m,又OC=1,根據(jù)圖象P點坐標可設(shè)為(1+m,m),(1-m,m),(1-m,-m),代入拋物線解析式分別求解.
          解答:解:(1)設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b,
          由已知可得A(-1,0),B(0,-1)則

          ∴直線AB的解析式為:y=-x-1

          (2)把B(0,-1)代入拋物線y=x2+bx+c中得c=-1,聯(lián)立
          得x2+(b+1)x=0,
          當△=0時,解得b=-1,
          ∴拋物線解析式為:y=x2-x-1

          (3)存在這樣的點P,使△PMC∽△ADC,
          ∵△ADC為等腰直角三角形,則△PMC為等腰直角三角形,
          即CM=PM=m,
          又OC=1,根據(jù)圖象P點坐標可設(shè)為(1+m,m),(1-m,m),(1-m,-m),
          代入拋物線解析式y(tǒng)=x2-x-1中,
          解方程:(1+m)2-(1+m)-1=m,
          (1-m)2-(1-m)-1=m,
          (1-m)2-(1-m)-1=-m;
          解得m=-1,1,1±
          ∴P點的坐標為(0,-1),(2,1),(,1-),(-,1+).
          點評:本題考查了正方形的性質(zhì),一次函數(shù),二次函數(shù)解析式的求法,并運用拋物線解析式解決三角形的相似問題;本題需要形數(shù)結(jié)合,分類討論.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2)求拋物線y=x2+bx+c的解析式;
          (3)若點P為(2)中拋物線上一點,過點P作PM⊥x軸于點M,問是否存在這樣的點P,使△PMC∽△ADC?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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