Question

【題目】閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題

數(shù)學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，中，，點在上，，（其中），的平分線與相交于點，垂足為，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學們經(jīng)過思考后，交流了自已的想法：

小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)與相等．”

小偉：“通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過進一步推理，可以得到線段與的數(shù)量關(guān)系．”

……

老師：“保留原題條件，延長圖1中的，與相交于點（如圖2），可以求出的值．”

（1）求證：；

（2）探究線段與的數(shù)量關(guān)系（用含的代數(shù)式表示），并證明；

（3）直接寫出的值（用含的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用三角形的外角性質(zhì)可求解；

（2）由直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得AF=FC，AF=BF，通過證明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求解；

（3）通過證明△ABH∽△ACB，可得AB2=AC×AH，設(shè)BD=m，AB=km，由勾股定理可求AC的長，可求AH，HC的長，即可求解．

證明：（1）∵

∴

∵,

∴

（2）設(shè)，

∴

∵，

∴

∵平分

∴

∴，

∴

∴

∵，

∴∽

∴

∵，

∴∽

∴，且，

∴，即

∴

（3）∵，

∴，且

∴∽

∴

∴

設(shè)，

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴