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        1. 【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上,等腰Rt△ADE的兩個(gè)頂點(diǎn)D、E和正方形頂點(diǎn)B三點(diǎn)在一條直線上.

          (1)如圖1,連接OD,求證:△OAD≌△BAE;

          (2)如圖2,連接CD,求證:BE﹣DE=CD;

          (3)如圖3,當(dāng)圖1中的Rt△ADE的頂點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)E正好落在x軸上,F(xiàn)為線段OC上一動點(diǎn)(不與O、C重合),G為線段AF的中點(diǎn),若CG⊥GK交BE于點(diǎn)K時(shí),請問∠KCG的大小是否變化?若不變,請求其值;若改變,求出變化的范圍.

          【答案】(1)證明見解析(2)見解析(3)∠KCG的大小不變,

          【解析】

          (1)利用同角的余角相等可得∠BAD=EAF,由此得∠OAD=BAE,根據(jù)SAS證明OAD≌△BAE;(2)作輔助線構(gòu)建正方形ANDM和等腰直角三角形CFD,把所求CD轉(zhuǎn)化為CF,證CF=OM,由(1)中的全等可知∠ODA=BEA=45°,證明∠ODC=45°,推出CFCD的關(guān)系,利用直角三角形斜邊中線和正方形的性質(zhì)求出BE﹣DE的值為OM,得出結(jié)論;(3)作輔助線構(gòu)建正方形BMKN和全等三角形,首先利用全等證明CG=QG,由線段垂直平分線性質(zhì)得KC=KQ,證明RtCNKRtQMK,得∠CKN=QKM,可知∠CKQ=90°,得KCQ是等腰直角三角形,因此得出結(jié)論:∠KCG的大小不變,等于45°.

          (1)如圖1,在正方形ABCO中,

          ∵∠BAF=∠DAE=90°,

          ∴∠BAD=∠EAF,

          ∴∠BAD+∠OAB=∠EAF+∠BAF,

          即∠OAD=∠BAE,

          ∵AB=AO,AD=AE,

          ∴△OAD≌△BAE;

          (2)如圖2,設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為P,

          過C作CF⊥OD于F,過A作AN⊥DE于N,AM⊥OD于M,

          ∵等腰Rt△ADE,AD=AE,

          ∴AN=DN=DE,

          ∴四邊形ANDM是正方形,

          ∴DN=DM,

          ∴BE﹣DE=OD﹣DM=OM,

          由①△OAD≌△BAE得,∠ODA=∠BEA=45°,

          ∴∠ODE=90°,

          ∵∠OAB=∠ODB=90°,∠OPA=∠BPD,

          ∴△OAP∽△BDP,

          ,

          ∵∠CBD=90°+∠ABE,∠APD=90°+∠AOD,

          ∠ABE=∠AOD,

          ∴∠CBD=∠APD,

          ∴△CBD∽△APD,

          ∴∠CDB=∠ADO=45°,

          ∴∠ODC=90°﹣45°=45°,

          ∵sin45°=,

          ∴CF=

          ∵△COF≌△OAM,

          ∴CF=OM,

          ∴BE﹣DE=CD;

          (3)如圖3,∠KCG的大小不變,理由是:

          過K作KM⊥AB于M,KN⊥BC,交CB的延長線于N,延長CG、BA交于Q,連接KQ,

          ∵∠N=∠MBN=∠BMK=90°,

          ∴四邊形BMKN是矩形,

          ∵AB=AE,∠BAE=90°,

          ∴∠ABE=45°,

          ∴BM=KM,

          ∴矩形BMKN是正方形,

          ∵OC∥AB,

          ∴∠OCG=∠GQA,

          ∵FG=AG,∠CGF=∠AGQ,

          ∴△FCG≌△AQG,

          ∴CG=QG,

          ∵CG⊥GK,

          ∴KC=KQ,

          ∵KN=KM,

          ∴Rt△CNK≌Rt△QMK,

          ∴∠CKN=∠QKM,

          ∴∠CKQ=∠CKM+∠MKQ=∠CKM+∠CKN=90°,

          ∴△KCQ是等腰直角三角形,

          ∴∠KCG=∠KQC=45°.

          練習(xí)冊系列答案
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          進(jìn)價(jià)(元/只)

          售價(jià)(元/只)

          甲種節(jié)能燈

          30

          40

          甲種節(jié)能燈

          35

          50

          (1)求幸福商場甲、乙兩種節(jié)能燈各購進(jìn)了多少只?

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          (2)若點(diǎn)B是拋物線l2上的動點(diǎn)(B與A,C不重合),以AC為對角線,A,B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D,求證:D點(diǎn)在l2上.
          (3)當(dāng)點(diǎn)B位于l1在x軸下方的圖象上,平行四邊形ABCD的面積是否存在最大值和最小值?若存在,判斷它是何種特殊平行四邊形,并求出它面積的最值;若不存在,請說明理由.

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          成績(分)

          45

          50

          55

          60

          65

          68

          70

          人數(shù)(人)

          2

          6

          10

          7

          6

          5

          4

          根據(jù)表中的信息判斷,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

          A. 該班一共有40名同學(xué)

          B. 該班學(xué)生這次測試成績的眾數(shù)是55

          C. 該班學(xué)生這次測試成績的中位數(shù)是60

          D. 該班學(xué)生這次測試成績的平均數(shù)是59

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