Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與△ABC關于直線AC對稱，AE與CD垂直交BC的延長線于點E，∠EAF＝45°，且AF與AB在AE的兩側，EF⊥AF．

（1）依題意補全圖形．

（2）①在AE上找一點P，使點P到點B，點C的距離和最短；

②求證：點D到AF，EF的距離相等．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②詳見解析．

【解析】

（1）本題考查理解題意能力，按照題目所述依次作圖即可．

（2）①本題考查線段和最短問題，需要通過垂直平分線的性質(zhì)將所求線段轉化為其他等量線段之和，以達到求解目的．

②本題考查垂直平分線的判定以及全等三角形的證明，繼而利用角的平分線性質(zhì)即可得出結論．

（1）補全圖形，如圖1所示

（2）①如圖2，連接BD，P為BD與AE的交點

∵等邊△ACD，AE⊥CD

∴PC=PD,PC+PB最短等價于PB+PD最短

故B,D之間直線最短，點P即為所求．

②證明：連接DE，DF．如圖3所示

∵△ABC，△ADC是等邊三角形

∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°

∵AE⊥CD

∴∠CAE＝∠CAD＝30°

∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°

∴∠CAE＝∠CEA

∴CA＝CE

∴CD垂直平分AE

∴DA＝DE

∴∠DAE＝∠DEA

∵EF⊥AF，∠EAF＝45°

∴∠FEA＝45°

∴∠FEA＝∠EAF

∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED

∴△FAD≌△FED（SAS）

∴∠AFD＝∠EFD

∴點D到AF，EF的距離相等．