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        1. 【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△ADC與△ABC關于直線AC對稱,AECD垂直交BC的延長線于點E,∠EAF45°,且AFABAE的兩側,EFAF

          1)依題意補全圖形.

          2)①在AE上找一點P,使點P到點B,點C的距離和最短;

          ②求證:點DAF,EF的距離相等.

          【答案】1)詳見解析;(2)①詳見解析;②詳見解析.

          【解析】

          1)本題考查理解題意能力,按照題目所述依次作圖即可.

          2)①本題考查線段和最短問題,需要通過垂直平分線的性質(zhì)將所求線段轉化為其他等量線段之和,以達到求解目的.

          ②本題考查垂直平分線的判定以及全等三角形的證明,繼而利用角的平分線性質(zhì)即可得出結論.

          1)補全圖形,如圖1所示

          2)①如圖2,連接BD,PBDAE的交點

          ∵等邊△ACD,AECD

          PC=PD,PC+PB最短等價于PB+PD最短

          B,D之間直線最短,點P即為所求.

          ②證明:連接DE,DF.如圖3所示

          ∵△ABC,△ADC是等邊三角形

          ACAD,∠ACB=∠CAD60°

          AECD

          ∴∠CAECAD30°

          ∴∠CEA=∠ACB﹣∠CAE30°

          ∴∠CAE=∠CEA

          CACE

          CD垂直平分AE

          DADE

          ∴∠DAE=∠DEA

          EFAF,∠EAF45°

          ∴∠FEA45°

          ∴∠FEA=∠EAF

          FAFE,∠FAD=∠FED

          ∴△FAD≌△FEDSAS

          ∴∠AFD=∠EFD

          ∴點DAFEF的距離相等.

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