Question

如圖所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是三邊AB，BC，CA上的點(diǎn)，則DE+EF+FD的最小值為（　�。�

• A、

  12

  5

• B、

  24

  5

• C、5
• D、6

Answer 1

分析：作F關(guān)于AB、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′、F″，作AC關(guān)于AB、BC的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段，可以發(fā)現(xiàn)F′，F(xiàn)″是一個(gè)菱形對(duì)邊上的關(guān)于中心B對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．容易發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)′F″的最短距離就是菱形對(duì)邊的距離，也就是菱形的高．根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出DE+EF+FD的最小值．

解答：解：作F關(guān)于AB、BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′、F″
則FD=F′D，F(xiàn)E=F″E．
DE+EF+FD=DE+F′D+F″E．
兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可知當(dāng)F固定時(shí)，DE+F′D+F″E的最小值就是線(xiàn)段F′F″的長(zhǎng)．
于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化：F運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)′F″什么時(shí)候最短．
F′，F(xiàn)″是關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的．
作AC關(guān)于AB、BC的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段，可以發(fā)現(xiàn)F′，F(xiàn)″是一個(gè)菱形對(duì)邊上的關(guān)于中心B對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
很容易發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)′F″的最短距離就是菱形對(duì)邊的距離，也就是菱形的高．

4×3×4

2

=5x
x=

24

5

，高是

24

5

，
故DE+EF+FD的最小值為

24

5

，
此時(shí)F在斜邊上的高的垂足點(diǎn)，D、E在B點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的判定和性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng)--最短路線(xiàn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，有一定的難度．關(guān)鍵是確定F在斜邊上的高的垂足點(diǎn)，D、E在B點(diǎn)．