Question

如圖，拋物線y=ax²-4ax+b的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，且經(jīng)過(guò)（0，2），交x軸于A、B（A在B左邊）
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，x軸上一點(diǎn)M，使S_△MCE=S_△MCD，求M的坐標(biāo)；
（3）將直線CD向下平移，交x、y軸分別于S、T，交拋物線于P，若

PS

PT

=2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定的系數(shù)法求得物線的解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由三角形的面積計(jì)算方法聯(lián)立方程即可解答；
（3）求出直線CD，進(jìn)一步得到直線PS的解析式，由此聯(lián)立一元二次方程求得結(jié)果．

解答：解：（1）拋物線y=ax²-4ax+b的對(duì)稱軸是x=-

-4a

2a

=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），且經(jīng)過(guò)C（0，2），
代入函數(shù)解析式得

4a-8a+b=3 b=2

，
解得

a= 1 4 b=2

，
所以函數(shù)解析式為y=-

1

4

x2+x+2；

（2）如圖，

作DF垂直于x軸，垂足為F，
由題意知C（0，2），D（2，3），E（0，-2），F(xiàn)（0，2），設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
由S_△MCE=S_△MCD得

1

2

×4x=

1

2

（2+3）×2-

1

2

×2x-

1

2

（2-x）×3，
解得x=

4

3

，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（

4

3

，0），點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（-

4

3

，0）也符合要求，
所以M的坐標(biāo)為M(±

4

3

，0)；

（3）如上圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-

1

4

x2+x+2），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，
可得到△SOT∽△SQP，

PQ

TO

=

PS

ST

，又因

PS

PT

=2，所以

PQ

TO

=2，
因此T點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

8

x2+

1

2

x+1），
經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)直線CD的解析式為y=

1

2

x+2，
因此直線PS的解析式為y=

1

2

x+（-

1

8

x²+

1

2

x+1）=-

1

8

x²+x+1，與拋物線聯(lián)立方程得，
-

1

4

x²+x+2=-

1

8

x²+x+1，解得x=±2

2

，
代入拋物線解析式可得y=2

2

，
因此P點(diǎn)坐標(biāo)為P(±2

2

，2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定與性質(zhì)，三角形的面積等內(nèi)容．