Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接，已知，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．

備用圖

（1）求該拋物線的解析式；

（2）連接，能否在拋物線上找到一點(diǎn)，使得，若有求點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒(méi)有說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)為上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，當(dāng)的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）和；（3）

【解析】

（1）由拋物線解析式可知點(diǎn)C坐標(biāo)，由可知OB長(zhǎng)，易得點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式可得該拋物線的解析式；

（2）分2種情況討論，①若，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由作圖可得利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例的性質(zhì)及勾股定理可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，求出直線CQ的解析式，代入拋物線解析式易得點(diǎn)M坐標(biāo)；②若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形三線合一，，則，利用全等三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)H坐標(biāo)，求出直線CH的解析式代入拋物線解析式可求得點(diǎn)M坐標(biāo)；

（3）由題意可知，易知，當(dāng)的周長(zhǎng)最大只需最大即可，求出所在直線的解析式，設(shè)，則，可表示出，易知當(dāng)時(shí)，最大，即的周長(zhǎng)最大，把代入即可求出點(diǎn)P坐標(biāo).

解：（1）拋物線與軸相交于點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為

把代入得：

該拋物線的解析式為：

（2）如圖，若，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)

由作圖可得：

設(shè)，則

在中，

在中，

，得

，可得：

，

所在直線的解析式為：

把代入解得：

（舍去），

把代入

得：

另一種情況：如圖，若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形三線合一，，

則

，

，，

所在直線的解析式為：

把代入解得：

（舍去），

把代入得：

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為：

和

（3）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

在中，，，所以

的周長(zhǎng)最大只需最大即可，

，

所在直線的解析式為：

點(diǎn)為上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，最大，即的周長(zhǎng)最大，

把代入得：

即當(dāng)的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．