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        1. 閱讀并
          ①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
          ②方程2x2-x-2=0的根是x1=
          1+
          17
          4
          ,x2=
          1-
          17
          4
          ,則有x1+x2=
          1
          2
          ,x1x2=-1.
          ③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-
          7
          3
          ,x2=1,則有x1+x2=-
          4
          3
          ,x1x2=-
          7
          3

          (1)根據(jù)以上①②③請你猜想:如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系?請寫出你的猜想并證明你的猜想;
          (2)利用你的猜想結(jié)論,解決下面的問題:
          已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0有實(shí)數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.
          (1)猜想為:設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則有x1+x2=-
          b
          a
          ,x1x2=
          c
          a

          理由:設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,
          那么由求根公式可知,x1=
          -b+
          b2-4ac
          2a
          ,x2=
          -b-
          b2-4ac
          2a

          于是有x1+x2=
          -2b
          2a
          =-
          b
          a
          ,x1x2=
          b2-(b2-4ac)
          4a2
          =
          c
          a
          ,
          綜上得,設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則有x1+x2=-
          b
          a
          ,x1x2=
          c
          a


          (2)x1、x2是方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
          ∴x1+x2=-(2k+1),x1x2=k2-2,
          又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=(x1+x22-2x1x2
          ∴[-(2k+1)]2-2×(k2-2)=11
          整理得k2+2k-3=0,
          解得k=1或-3,
          又∵△=[-(2k+1)]2-4(k2-2 )≥0,解得k≥-
          9
          4
          ,
          ∴k=1.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          (2013•武漢模擬)先閱讀并完成第(1)題,再利用其結(jié)論解決第(2)題.
          (1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,則有x1+x2=-
          b
          a
          ,x1•x2=
          c
          a
          .這個(gè)結(jié)論是法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最先發(fā)現(xiàn)并證明的,故把它稱為“韋達(dá)定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,進(jìn)而求出相關(guān)的代數(shù)式的值.
          請你證明這個(gè)定理.
          (2)對于一切不小于2的自然數(shù)n,關(guān)于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的兩個(gè)根記作an,bn(n≥2),
          請求出
          1
          (a2-2)(b2-2)
          +
          1
          (a3-2)(b3-2)
          +…+
          1
          (a2011-2)(b2011-2)
          的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          先閱讀,再填空解題:
          (1)方程:x2+x-2=0的根是:x1=
          2
          2
          ,x2=
          1
          1
          ,則x1+x2=
          3
          3
          ,x1x2=
          2
          2

          (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x1=
          3
          3
          ,x2=
          1
          2
          1
          2
          ,則x1+x2=
          7
          2
          7
          2
          ,x1x2=
          3
          2
          3
          2

          (3)方程x2-4x-5=0的根是:x1=
          5
          5
          ,x2=
          -1
          -1
          ,則x1+x2=
          4
          4
          ,x1x2=
          -5
          -5

          (4)如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c為常數(shù))的兩根為x1,x2,根據(jù)以上(1)(2)(3)你能否猜出:x1+x2,x1x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系?請寫出來你的猜想并說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          先閱讀,再填空,再解答后面的相關(guān)問題:
          (1)方程x2-x-2=0的根是x1=2,x2=-1,則x1+x2=1,x1•x2=-2
          (2)方程2x2-3x-5=0的根是x1=-1,x2=
          5
          2
          ,則x1+x2=
          3
          2
          x1x2=-
          5
          2

          (3)方程3x2-2x-1=0的根是x1=
          -
          1
          3
          -
          1
          3
          ,x2=
          1
          1
          ,則x1+x2=
          2
          3
          2
          3
          ,x1•x2=
          -
          1
          3
          -
          1
          3

          根據(jù)對以上(1)、(2)、(3)的觀察、思考,你能否猜出:如果關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0且m、n、p為常數(shù)且n2-4mp≥0)的兩根x1、x2,那么x1+x2、x1•x2與系數(shù)m、n、p有什么關(guān)系?請寫出你的猜想并說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          閱讀下列材料,并解答問題:
          在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,如果b2-4ac≥0時(shí),那
          么它的兩個(gè)根是x1=
          -b+
          b2-4ac
          2a
          ,x2=
          -b-
          b2-4ac
          2a
          所以x1+x2=
          (-b+
          b2-4ac
          )+(-b-
          b2-4ac
          )
          2a
          =
          -2b
          2a
          =-
          b
          a
          x1x2=
          (-b+
          b2-4ac
          )•(-b-
          b2-4ac
          )
          2a•2a
          =
          b2-(b2-4ac)
          4a2
          =
          c
          a

          由此可見,一元二次方程的兩根的和、兩根的積是由一元二次方程的系數(shù)a、b、c確定的.運(yùn)用上述關(guān)系解答下列問題:
          (1)已知一元二次方程2x2-6x-1=0的兩個(gè)根分別為x1、x2,則x1+x2=
          3
          3
          ,x1x2=
          -
          1
          2
          -
          1
          2
          ,
          1
          x1
          +
          1
          x2
          =
          -6
          -6

          (2)已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2-x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          =7
          ,求a的值.

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          同步練習(xí)冊答案