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        1. 【題目】如圖,四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上,且線段OA、OC(OA>OC)是方程x2﹣18x+80=0的兩根,將邊BC折疊,使點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)D處.

          (1)求線段OA、OC的長;
          (2)求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)及折痕CE的長;
          (3)是否存在過點(diǎn)D的直線l,使直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似?如果存在,請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線;如果不存在,請說明理由.

          【答案】
          (1)

          解:方程x2﹣18x+80=0,

          因式分解得:(x﹣8)(x﹣10)=0,

          即x﹣8=0或x﹣10=0,

          解得:x1=8,x2=10,

          ∴OA=10,OC=8


          (2)

          解:由折疊可知:△EBC≌△EDC,∴EB=ED,

          ∴CB=CD,又矩形OABC,∴AB=OC=8,

          ∴CB=CD=OA=10,又OC=8,

          在Rt△OCD中,根據(jù)勾股定理得:OD= =6,

          ∴AD=OA﹣OD=10﹣6=4,

          又BE+EA=AB=8,且EB=ED,

          ∴DE+EA=8,即DE=8﹣EA,

          在Rt△AED中,設(shè)AE=x,則DE=8﹣x,又AD=4,

          根據(jù)勾股定理得:(8﹣x)2=x2+16,

          整理得:16x=48,

          解得:x=3,

          則E的坐標(biāo)為(10,3),又C(0,8),

          設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,

          將C與E坐標(biāo)代入得:

          解得:k=﹣ ,b=8,

          則直線CE解析式為y=﹣ x+8,

          令y=0求出x=16,即P坐標(biāo)為(16,0);

          此時(shí)BE=BA﹣EA=8﹣3=5,又BC=OA=10,

          在Rt△BCE中,根據(jù)勾股定理得:

          CE= =5


          (3)

          解:存在.滿足條件的直線l有2條:y=﹣2x+12,y=2x﹣12.

          如圖2:


          【解析】(1.)利用式子相乘法把方程左邊分解為兩一次因式積的形式,然后根據(jù)兩數(shù)相乘積為0,兩數(shù)中至少有一個為0,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,分別求出方程的解得到原方程的解,根據(jù)OA大于OC,即可得到OA及OC的長;(2.)由折疊可知三角形EBC與三角形EDC全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EB=ED,CB=CD,又矩形ABCD對邊相等,從而得到CD的長,再由OC的長,利用勾股定理求出OD的長,進(jìn)而求出AD的長,在直角三角形AED中,設(shè)EA=x,則DE=8﹣x,再由AD的長,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到AE的長,即為E的縱坐標(biāo),而OA的長即為E的橫坐標(biāo),確定出E的坐標(biāo),同時(shí)得到BE的長,再由BC的長,在直角三角形BCE中,利用勾股定理求出折痕CE的長;
          (3.)存在,應(yīng)該有兩條如圖:
          ①直線BF,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE必垂直平分BD,那么∠DGP=∠CGF=90°,而∠CFG=∠DPG(都是∠OCP的余角),由此可得出兩三角形相似,那么可根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出此直線的解析式.
          ②直線DN,由于∠FCO=∠NDO,那么可根據(jù)∠OCE即∠BEC的正切值,求出∠NDO的正切值,然后用OD的長求出ON的值,即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)N、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線DN的解析式.

          練習(xí)冊系列答案
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