Question

【題目】如圖，拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，求面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，連接當(dāng)直線與直線的一個(gè)夾角等于的2倍時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)或.

【解析】

（1）利用點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作軸，交BC于點(diǎn)H，設(shè)，H ，求出的面積即可求解；

（3）如圖2，作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于，交AC于E，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到，再確定N（3，2），AC的解析式為y＝5x5，E點(diǎn)坐標(biāo)為，利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線的解析式為，把E代入求出b，得到直線的解析式為 ，則解方程組 得點(diǎn)的坐標(biāo)；作點(diǎn)關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)，利用對稱性得到，設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，然后求出x即可得到的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）把代入得

；

（2）過點(diǎn)P作軸，交BC于點(diǎn)H，

設(shè)，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為 ，

∴ ，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.

（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于，交AC于E，

∵，
∴，
∴，
∵△ANB為等腰直角三角形，
∴，
∴N（3，2），
由 可得AC的解析式為y＝5x5，E點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，把E代入得 ，解得，
∴直線的解析式為，
解方程組得 ，則；
如圖2，在直線BC上作點(diǎn)關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)，則，

設(shè)，
∵，
∴，
∴，
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或.