Question

【題目】如圖，⊙O為等腰三角形ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB=12，P為上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），直線CP交AB的延長線于點(diǎn)Q，⊙O在點(diǎn)P處的切線PD交BQ于點(diǎn)D，則下列結(jié)論：①若∠PAB=30°，則的長為π；②若PD∥BC，則AP平分∠CAB；③若PB=BD，則PD=6；④無論點(diǎn)P在上的位置如何變化，CPCQ=108．其中正確結(jié)論的序號為 ______．

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①根據(jù)∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的長；②根據(jù)切線的性質(zhì)以及垂徑定理，即可得到=，據(jù)此可得AP平分∠CAB；③根據(jù)BP=BO=PO=6，可得△BOP是等邊三角形，據(jù)此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CPCQ=CA2，據(jù)此即可判斷．

解：如圖，連接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴的長為=2π，故①錯誤；

∵PD是⊙O的切線，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴=，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正確；

若PB=BD，則∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等邊三角形，

∴PD=OP=6，故③正確；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=∠BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴=，即CPCQ=CA2=72，故④錯誤；

故答案為：②③．