Question

已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E點(diǎn)，CF⊥AD于F點(diǎn)，在AB上有一點(diǎn)M，且CM=CD．
（1）請你用尺規(guī)作出點(diǎn)M的位置，
（2）若AF=12，DF=4，求AM的長，
（3）試說明∠CDA與∠CMA的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）以點(diǎn)C為圓心，以CD長為半徑畫弧，與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)M；
（2）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CE=CF，再利用“HL”證明△CDF和△CEM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=ME，然后分點(diǎn)M在點(diǎn)E的左邊與右邊兩種情況討論求解；
（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CDF=∠CME，然后分兩種情況討論解答．

解答：解：（1）點(diǎn)M的位置如圖所示；

（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△CDF和△CEM中，

CD=CM CE=CF

，
∴△CDF≌△CEM（HL），
∴DF=ME=4，
點(diǎn)M在點(diǎn)E的左邊時(shí)，AM=AF-ME=12-4=8，
點(diǎn)M在點(diǎn)E的右邊時(shí)，AM=AE+ME=12+4=16，
綜上所述，AM的長為8或16；

（3）∵△CDF≌△CEM，
∴∠CDF=∠CME，
點(diǎn)M在點(diǎn)E的左邊時(shí)，∠CDA=∠CMA，
點(diǎn)M在點(diǎn)E的右邊時(shí)，∠CDA+∠CMA=180°，
綜上所述，∠CDA與∠CMA相等或互補(bǔ)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論．