Question

【題目】在中，，點(diǎn)為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接．

（1）如圖①，若，則按邊分類：是 三角形，并證明；

（2）若．

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，判斷的形狀并證明；

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，是什么三角形？請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）等邊；證明見解析；（2）①△EFC為等腰三角形，證明見解析；②△EFC為等腰三角形．

【解析】

（1）根據(jù)題意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通過求證△EAC≌△DAB，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可推出△EFC為等邊三角形；

（2）①根據(jù)（1）的推理方法，即可推出△EFC為等腰三角形；②根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，通過求證△EAC≌△DAB，推出等量關(guān)系，即可推出△EFC為等腰三角形．

解：（1）如圖1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，

∴△DAB≌△EAC，

∴∠ECA=∠B=60°，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB=60°，

∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，

∴△EFC為等邊三角形，

故答案為：等邊；

（2）①△CEF為等腰三角形，

證明：如圖2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，

∴△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠B，

∴∠ACE=∠ACB，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB，

∴∠EFC=∠ACE，

∴CE=FE，

∴△EFC為等腰三角形；

②如圖③，△EFC為等腰三角形．

當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，以AD為一邊在AD的左側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點(diǎn)E作BC的平行線EF，交直線AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DE．

證明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，

∴△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠DBA，

∴∠ECF=∠ABC，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB，

∴∠AFE=∠ECF，

∴EC=EF，

∴△EFC為等腰三角形．