Question

已知x₁，x₂是一元二次方程（k+1）x²+2kx+k-3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）在（1）條件下，當(dāng)k為最小整數(shù)時(shí)一元二次方程x²-x+k=0與x²+mx-m²=0只有一個(gè)相同的根，求m值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有兩不等實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．
（2）確定出k的最小整數(shù)值，即可求得k的值，則方程x²-x+k=0即為已知，即可求得方程的根，方程的根是方程x²+mx-m²=0的根，代入即可求出m的值．

解答：解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（2k）²-4（k+1）（k-3）＞0
解得k＞-

3

2

∵方程是一元二次方程
∴k+1≠0，
∴k≠-1．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為：k＞-

3

2

且k≠-1．
（2）由（1）可得：k取最小整數(shù)時(shí)k=0．
∴x²-x+0=0，
解得x₁=0，x₂=1．
①把x=0代入x²+mx-m=0，m=0．
②把x=1代入x²+mx-m=0得，
m²-m-1=0，
解得m=

1± 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)方程x²+mx-m²=0，分類(lèi)討論，它與方程x²-x=0只有一個(gè)相同解，x可能為0，也可能為1．