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        1. (2011•慶陽(yáng))如圖,拋物線(xiàn)C1:y=x2+2x-3的頂點(diǎn)為M,與x軸相交于A(yíng)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D;拋物線(xiàn)C2與拋物線(xiàn)C1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),頂點(diǎn)為N,與x軸相交于E、F兩點(diǎn).
          (1)拋物線(xiàn)C2的函數(shù)關(guān)系式是
          y=x2-2x-3
          y=x2-2x-3
          ;
          (2)點(diǎn)A、D、N是否在同一條直線(xiàn)上?說(shuō)明你的理由;
          (3)點(diǎn)P是C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P′是C2上的動(dòng)點(diǎn),若以O(shè)D為一邊、PP′為其對(duì)邊的四邊形ODP′P(或ODPP′)是平行四邊形,試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (4)在C1上是否存在點(diǎn)Q,使△AFQ是以AF為斜邊且有一個(gè)角為30°的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)拋物線(xiàn)C1、C2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),那么它們的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小都相同(即二次項(xiàng)系數(shù)相同),頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(即M、N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng));首先將拋物線(xiàn)C1寫(xiě)成頂點(diǎn)式,再根據(jù)上述條件得出拋物線(xiàn)C2的解析式.
          (2)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)可由拋物線(xiàn)C1的解析式得出,利用待定系數(shù)法能求得直線(xiàn)AD的解析式,然后將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入直線(xiàn)AD的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可.
          (3)已經(jīng)給出了OD為平行四邊形的邊,那么OD、PP′必平行且相等,因此PP′必平行于y軸(即橫坐標(biāo)相同),且PP′=OD=3(即P、P′縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為3),據(jù)此確定點(diǎn)P的坐標(biāo).
          (4)通過(guò)觀(guān)察圖形不難判斷出:
          ①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí),∠AFQ=30°,那么首先通過(guò)解直角三角形求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再代入拋物線(xiàn)C1的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可;
          ②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí),∠FAQ=30°,解法同①.
          解答:解:(1)∵拋物線(xiàn)C1、C2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且C1:y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
          ∴M(-1,-3)、N(1,-3),C2:y=(x-1)2-4=x2-2x-3.

          (2)三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上,理由:
          由C1:y=x2+2x-3,得:A(-3,0)、D(0,-3);
          設(shè)直線(xiàn)AD的解析式:y=kx+b,則有:
          -3k+b=0
          b=-3

          解得
          k=-1
          b=-3

          故直線(xiàn)AD:y=-x-3;
          當(dāng)x=1時(shí),y=-1-3=-4,即點(diǎn)N在直線(xiàn)AD上;
          所以,A、D、N三點(diǎn)共線(xiàn).

          (3)∵四邊形ODP′P(或ODPP′)是平行四邊形,且OD、PP′為邊,
          ∴OD
          .
          PP′;
          設(shè)P(x,x2+2x-3),則P′(x,x2-2x-3),由PP′=OD=3,得:
          |(x2+2x-3)-(x2-2x-3)|=3,
          解得:x=±
          3
          4

          故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
          3
          4
          ,-
          15
          16
          )或(-
          3
          4
          ,-
          63
          16
          ).

          (4)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q不存在,理由如下:
          ①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí),∠AFQ=30°,如右圖;
          在Rt△AFQ中,AF=6,∠AFQ=30°,QG⊥AF,有:
          AQ=
          1
          2
          AF=3,AG=
          AQ2
          AF
          =
          32
          6
          =
          3
          2
          ,QG=AG•tan60°=
          3
          3
          2
          ;
          則Q(-
          3
          2
          ,-
          3
          3
          2
          );
          將Q(-
          3
          2
          ,-
          3
          3
          2
          )代入拋物線(xiàn)C1:y=x2+2x-3中,等式不成立;
          ②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí),∠FAQ=30°;
          同①可求得,Q(
          3
          2
          ,
          3
          3
          2
          ),代入拋物線(xiàn)C1:y=x2+2x-3中,等式不成立;
          綜上,不存在符合條件的點(diǎn)Q使得△AFQ是以AF為斜邊且有一個(gè)角為30°的直角三角形.
          點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、平行四邊形與直角三角形的性質(zhì)等綜合知識(shí);難度較大的是后面兩題,(3)題中,OD為平行四邊形的邊是解題的一個(gè)關(guān)鍵條件,而平行四邊形的對(duì)邊平行且相等是解題的主要理論依據(jù);最后一題中,點(diǎn)Q的位置共有兩種情況,這是容易漏解的地方.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          670
          670
          個(gè)圖案由2011個(gè)基礎(chǔ)圖形組成.

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          25
          ,求AB的長(zhǎng).

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          旋轉(zhuǎn)
          旋轉(zhuǎn)
          變換;(填“平移”、“軸對(duì)稱(chēng)”、“旋轉(zhuǎn)”之一)
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